Nevezetes szorzatok anyagból egy feladat. Hogyan vezessem le?

Az első zárójelest így alakítod át:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Nyilván a-nak itt a 2/3*a számít, ami a négyzeten azt jelenti, hogy (2/3*a)*(2/3*a) = 4/9*a^2

A második:

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Az utolsó kettő pedig:

(a+b)*(a-b) = a^2 - b^2

Ez alapján menni fog?

rejehw: ezzel mégis mit segítettél Neki?

Szerintem nem csak azt akarja, hogy legyen egy végeredménye, hanem érteni is akarja, hogy hogy jön ki...

K=(2a/3+3)^2+(2a/3-1)^2+(5a/3-4)*(5a/3+4)=A+B+C

Az első összeadandó, A összeg négyzete=első tag négyzete plusz a két tag kétszeres szorzata plusz a második tag négyzete.

A=(2a/3+3)^2=(2a/3)^2+2*(2a/3)*3+3^2=4a^2/9+12a/3+9=4a^2/9+4a+9.

A második összeadandó, B különbség négyzete=első tag négyzete mínusz a két tag kétszeres szorzata plusz a második tag négyzete.

B=(2a/3-1)^2=(2a/3)^2-2*(2a/3)*1+1^2=4a^2/9-4a/3+1.

A harmadik összeadandó, C két tag összegének és különbségének a szorzata.

Két tag összegének és különbségének a szorzata=két tag négyzetének a különbsége.

C=(5a/3-4)*(5a/3+4)=25a^2/9-16.

Az "a négyzetes" tagok együtthatói

p=4/9+4/9+25/9=33/9=11/3.

Az a-ban elsőfokú tagok együtthatói

q=4-4/3=(12-4)/3=8/3.

Az a-t nem tartalmazó tagok együtthatói

r=9+1-16=-6.

Az eredmény

K=p*a^2+q*a+r=(11/3)*a^2+(8/3)*a-6.

N = (2a/3 + 3)² - (2a/3 - 1)² + (5a/3 - 4)(5a/3 + 4)

Nem feltétlen szükséges, de az átláthatóság végett célszerűnek látom a következő helyettesítést

a/3 = x

Ezzel a kifejezésünk

N = (2x + 3)² - (2x - 1)² + (5x - 4)(5x + 4)

alakú lesz

A megoldás az

(1) A² - B² = (A - B)(A + B)

nevezetes szorzat használatára alapul

Az első két tag két négyzet különbsége, ahol

A = 2x + 3

B = 2x - 1

ezért az (1) képlet alapján írható

P = (2x + 3)² - (2x - 1)² = (2x + 3 - 2x + 1)(2x + 3 + 2x - 1) = 4*(4x + 2) = 16x + 8

A kifejezés harmadik tagja két szám összegének és különbségének szorzata, ahol

A = 5x

B = 4

így az (1) képlet alapján

Q = (5x - 4)(5x + 4) = 25x² - 16

A feladat szerint

N = P + Q

N = 16x + 8 + 25x² - 16

N = 25x² + 16x - 8

Az 'x' helyére az a/3-t visszahelyettesítve megkapod az eredményt.

DeeDee

**********