Valaki segítene megoldani a következő matekpéldát?

Jól számoltál, de tovább kell gondolni:

[link]

Az volt a gond, hogy nem szabad "csak úgy" beszorozni (1-x²)-tel, ugyanis külön kell számolni azzal, hogy mi van, ha ez pozitív, és mi van, ha negatív. Csak azt az esetet néztétek meg, amikor 1-x² pozitív, és olyankor tényleg nincs megoldás (de nem azért, mert a diszkrimináns negatív!)

Másik dolog, hogy természetesen legelőször is ki kell kötni, hogy x≠1 és x≠-1

a) eset: 1-x² pozitív.

Ekkor ahogy neked is kijött:

x²-2x+5 < 0

Itt a diszkrimináns tényleg negatív, de az csak azt jelenti, hogy 0 értéket nem vesz fel a bal oldali négyzetes függvény. Ha átalakítjuk teljes szorzattá, ezt kapjuk:

(x-1)²+4

Ez minden x-re pozitív, minimuma 4, tehát nem tud < 0 lenni, nincs megoldás.

b) eset: 1-x² negatív.

Ekkor beszorzáskor megfordul az egyenlőtlenség iránya:

4·(1-x)+2·(1+x) > 1-x²

4-4x+2+2x > 1-x²

x²-2x+5 > 0

Ugyanaz jött ki, mint az előbb, csak fordított egyenlőtlenségjellel. Most is a teljes szorzat ugyanúgy alakul:

(x-1)²+4 > 0

Ez minden x-re teljesül, hisz a négyzet pozitív, amihez 4-et adva még inkább pozitív lesz.

Viszont figyelembe kell venni, hogy 1-x² negatív kell legyen, mert csak akkor jöhettünk a megoldással erre az ágra:

1-x² < 0

x² > 1

x > 1 vagy x < -1

Ezt kell összevetni a megoldással, ami az volt, hogy "minden x-re igaz", tehát a megoldás az, hogy:

x > 1 vagy x < -1

Ezt a kikötésekkel is egyeztetni kell, rendben van a dolog, nem kell a kikötések (x≠1 és x≠-1) miatt kihagyni semmit a megoldásból.