Skatulya elv valaki tud segíteni?

A skatulya elvnek nagyon egyszerű a lényege: ha mondjuk 4 dolgot be akarsz rakni náluk kevesebb, mondjuk 3 skatulyába, akkor lesz legalább kettő, ami ugyanabba a skatulyába kerül.

A kockás feladatnál: Próbáljuk úgy kiszínezni, hogy csak 1,4-nél közelebb legyen azonos szín; ha sikerülne, nem lenne igaz a feladat állítása.

A három skatulyánk a három szín, X, Y és Z.

Hogy könnyebben tudjak magyarázni, nevezzük a kocka egyik lapjának sarkait A,B,C,D-nek, A-val szemben van a C. Ezzel a lappal szemben lévő lap sarkait nevezzük A',B',C',D'-nek, A mellett van 1 távolságra az A', stb.

Vegyük az A sarkot, ez legyen X színű. Ennek 1,4 sugárnál kisebbik környezetében lévő pontokat színezzük szintén X-re, vagyis rakjuk szintén az első skatulyába. Így beleesik ebbe például a B, D és A' csúcs is.

Mivel 1,4 < √2, ezért a C csúcsot valamilyen más színre, Y-ra kell színezni. Ennek 1,4 sugarú környezetében lévő pontokat, amik még nincsenek színezve, szintén színezzünk Y-ra, vagyis rakjuk őket a második skatulyába. Ebbe beleesik a C' csúcs.

Eddig a D' valamint a B' csúcs nem esett egyik skatulyába sem. Ezeket, valamint a kimaradó környezetüket már csak a harmadik skatulyába tehetjük, szóval ezek színe Z lesz. Viszont D' és B' √2 távolságra vannak, ezért tényleg lett olyan pont, ami 1,4-nél messzebb van, de ugyanolyan színű.

----

Rövidebben fogalmazva: a kocka A, C, B' és D' pontjai páronként egymástól √2 > 1,4 távolságra vannak. Ezt a 4 pontot 3 skatulyába csak úgy tudjuk rakni, hogy legalább 2 pont ugyanoda kerül, tehát igaz az állítás.