Szöveges feladat trapézzal. Kikell számolni a területét, melyben az átlók merőlegesek egymásra, a középvonal hossza 7 és az átlók hosszainak összege 14gyok 2. meg tudja oldani valaki?

Ha az átlók merőlegesek egymásra, akkor az mindenképp rombusz, nem?

(Mármint ha trapéz is.)

Első válaszolónak:

A rombusz átlói merőlegesen FELEZIK egymást!

Itt erről szó sincs.

Na de... Ahhoz, hogy merőlegesek legyenek, nem kell, hogy a másik két oldal is párhuzamos legyen?

Márpedig ha két pár párhuzamos oldala van, akkor az rombusz...

De késő van, szóval bocs, ha hülyeséget beszélek. :)

Ez az ábra segít a megoldásban:

[link]

A lényeg:

Az alapok a és c, a középvonal hossza ezek átlaga: (a+c)/2 = 7

Az átlók e és f, e+f = 14√2

Húzzunk párhuzamost az egyik átlóval a rajta nem lévő egyik csúcsponton keresztül. Egy derékszögű háromszög fog keletkezni, oldalai e, f és a+c hosszúak. Felírva a pitagorasz tételt:

e²+f²=14²

Ismerjük (e+f)-et. Ennek négyzete:

(e+f)² = e²+f²+2ef

(14√2)² = 14² + 2ef

2·14² = 14² + 2ef

2ef = 14²

Ebből kijön e·f, ami a terület duplája. Tehát a terület:

ef/2 = 49

Hm...

A jelölések magyarázatát lásd

[link]

Adott

f = 7 - a trapéz középvonalának hossza

d1 + d2 = 14√2 - a trapéz átlóinak összege

Az átlók merőlegesek egymásra

T = ? - a trapéz területe

---------------------------------------

Ha a trapéz átlói derékszögben metszik egymást, akkor

- a trapéz szimmetrikus

- az átlói azonos hosszúságúak

Ezért

d1 + d2 = 2d = 14√2

így

d = 7√2

A trapéz területe

T = [(a + b)/2]*m

Az (a + b)/2 mennyiség nem más, mint a középvonal hossza (f), így

T = f*m

A geometriából adódóan a trapéz magassága

m = d/√2

A d értékét behelyettesítve

m = 7√2/√2

m = 7

Ezekkel a terület

T = 7*f

Behelyettesítve

T = 7*7

T = 49

======

DeeDee

**************

Nem, DeeDee, nincs igazad. Abból, hogy az átlók derékszögben metszik egymást, nem következik, hogy a trapéz szimmetrikus.

Csináltam egy kis GeoGebra demonstrációt erre, mozgassátok a B D vagy O pontokat:

[link]