Mekkora a szabályos nyolcszög kerülete és területe ha 12 cm a. ) köréírt kör sugara b. ) a beírt körének sugara? Levezetést is kérnék.

Egyelőre ennyit sikerült:

T = n*a/2*ρ = K*ρ/2

K = n*a

T – terület

K – kerület

n = 8

a – oldalhossz

ρ = 12 cm – beleírt kör sugara

Ha kevés lenne az előző segítség:

[link]

Segítő ábra:

[link]

Az ábrán:

Köré írt kör sugara: R

Beírt kör sugara: r

Oldalhossz: s

Egy "cikk" középponti szöge: θ=45°

Külső, kiegészítő szög: γ=45°

a) Ismert a köré írt kör sugara: R=12 cm

Tanultad a koszinusztételt?

A koszinusztétel szerint egy háromszögben:

c²=a²+b²-2ab·cos szög

Ezzel a nyolcszög egy "cikkének" háromszögében felírható:

s² = R²+R²-2RR·cos 45° = 2R²(1-cos 45°)

s = √2·R·√(1-√2/2)

s = R·√(2-√2)

s = 9,18 cm

kerület: 8s = 73,48 cm

Egy "cikk" területe:

a háromszög magassága (nincs az ábrán berajzolva) R·sin 45°

Területe: 1/2·R·R·sin 45°

A nyolcszög területe: T=4·R²·sin 45°

T = 4·12²·√2 = 407,29 cm²

b) Ismert a beírt kör sugara: r=12 cm

A nyolcszöget ki lehet egészíteni egy négyzetté, aminek oldalhossza 2r. Képzelj oda az ábra mindnégy sarkába egy-egy kis egyenlő oldalú derékszögű háromszöget. A jobb felső sarokban a szaggatott vonal ennek a háromszögnek egy befogója, nevezzük a-nak.

a = s·√2/2

A négyzet oldala:

2r = a + s + a

2r = s·√2/2 + s + s·√2/2

2r = s(√2+1)

s = 2r/(√2+1) = 2r·(√2-1)

s = 9,94 cm

Kerület: 8s = 79,52 cm

Terület: A befoglaló négyzet területe 2r·2r

Ebből ki kell vonni a 4 kis sarokháromszög területét.

Egy sarokháromszög területe: a·a/2

4 sarokháromszög területe: 2a² = s²

A nyolcszög területe:

T = 4r² - s²

mivel s = 2r·(√2-1)

s² = 4r²·(2-2√2+1)

T = 4r² - 4r²(3 - 2√2)

T = 4r²(2√2-2) = 477,17 cm²