Teljes indukció. Segítenél?

Ez valószínű nem teljes indukciós bizonyítás már, jobb lett volna új kérdésként feltenni. Szerintem tegyed fel. Ja, és használj zárójeleket, hogy egyértelmű legyen, mi van a nevezőben stb. Tehát:

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség felhasználásával igazoljuk,hogy

(1+1/n)^n < (1+1/(n+1))^(n+1)

Próbáltam megoldani, de egyelőre nem megy. Idáig jutottam:

S(n) = (1+1/n)^n = ((n+1)/n)^n

Mivel 1 + 1/(n+1) = (n+2)/(n+1) = (n+1)/n · n/(n+1) · (n+2)/(n+1) = (n+1)/n · n(n+2)/(n+1)²

Ennek az n-edik hatványát véve a jobb oldali első tag éppen S(n) lesz, tehát ez lesz az egyenlet:

(1+1/(n+1))^n = S(n)·(n(n+2)/(n+1)²)^n

és ha ezt megszorozzuk 1+1/(n+1)=(n+2)/(n+1)-gyel, éppen S(n+1)-et kapunk:

S(n+1) = S(n) · (n(n+2)/(n+1)²)^n · (n+2)/(n+1)

Azt kellene bizonyítni tehát, hogy (n(n+2)/(n+1)²)^n · (n+2)/(n+1) > 1

Van itt egy számtani-mértani közép dolog, hisz az n és (n+2) számokat nézve:

mértani közép négyzete:

M² = n·(n+2)

számtani közép:

A = (n+n+2)/2 = n+1

Szóval az első tag éppen (M²/A²)^n, az egész pedig:

S(n+1) = S(n)·(M/A)^(2n)·(n+2)/(n+1)

De a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség miatt M/A kisebb 1-nél (egyenlő sem lehet, hisz n és n+2 nem azonosak), tehát ezzel pont nem lehet bebizonyítani a tételt.

(A tétel persze igaz, mert (n+2)/(n+1), ami nagyobb 1-nél, kompenzálja M/A kicsiségét, de ez így még nem bizonyítás, meg persze semmi köze a számtani-mértanihoz.)

Nekem úgy tűnik, hogy ez zsákutca, valószínű az elején már máshogy kellene belefogni.

Na, megvan a megoldás az egyenlőtlenségre. Nem én találtam meg, hanem egy matematikus ismerősöm, de végülis egészen egyszerű:

Ezt kell bizonyítani: (hasonlóképpen közös nevezőre hozva, mint az előbb is)

((n+2)/(n+1))^(n+1) > ((n+1)/n)^n

(n+1)-edik gyököt vonva mindkét oldalból:

(n+2)/(n+1) > (n+1)-edik gyök( ((n+1)/n)^n )

A bal oldal felfogható úgy, mint n+1 darab számnak a számtani közepe, amely számoknak az összege n+2.

A jobb oldal pedig n+1 számnak a mértani közepe, amiknek a szorzata ((n+1)/n)^n

Most már csak keresni kell n+1 darab számot, amik kielégítik ezt: összegük n+2, szorzatuk ((n+1)/n)^n.

Ehhez nézegetni kell kicsit az előző mondatot, és beugrik, hogy n darab (n+1)/n értékű szám szorzata éppen annyi, összege pedig n+1. Ha ehhez még hozzávesszük az 1-et is, akkor a szorzat nem változik, az összeg meg éppen n+2 lesz. Tehát megtaláltuk az n+1 darab számot:

1; (n+1)/n; (n+1)/n; (n+1)/n; ... (n+1)/n

Ezekre ha felírjuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget, majd vesszük mindkét oldal (n+1)-edik hatványát, pont a bizonyítandó összefüggést kapjuk.