Hogyan kell elvégezni egy adott egyenleten a kikötést?

Ez attól függ, hogy milyen egyenletről van szó. A kikötést az határozza meg, hogy az egyenletben előforduló kifejezések milyen intervallumon vannak értelmezve. Például a négyzetgyök csak nemnegatív számok körében van értelmezve, szóval a gyök(x-4)=8 egyenlet (nem tom hogy írjam máshogy)kikötése így néz ki: x>=4, mert ha ennél kisebb, a gyök alatt negatív szám van, és az nem lehet.

Vagy ha egy tört kifejezés van, akkor a nevezőben lévő szám nem lehet 0, szóval a (3+x)/(8-x) kifejezés kikötése x nem egyenlő 0.

Az jó szokás, hogy amint meglátod az egyenletet, leírod a kikötéseket, vagyis azt, hogy mikor nincs értelme valaminek (ahogy az előző válaszoló is írta). Valójában viszont elég akkor megadni a kikötést, amikor fontossá válnak, illetve vannak olyan kikötések is, amiket induláskor még nem is lehet látni. A következő példákban mondom majd, hogy melyik lépésnél fontos a kikötés:

(x²-1)/(x-1) = 2

alakítsuk szorzattá a számlálót:

(x+1)(x-1)/(x-1) = 2

egyszerűsítsünk (x-1)-gyel, és közben kikötjük, hogy x-1 nem nulla.

x+1 = 2

x = 1

de mivel kikötöttük, hogy x nem lehet 1, nincs megoldás.

A kikötés azért abban a lépésben volt fontos, mert nullával nem szabad nem csak osztani, de egyszerűsíteni sem. Ugyanis az (x²-1)/(x-1) nem pontosan ugyanaz a függvény, mint az x+1, hisz az első nincs értelmezve x=1-nél, míg a második ott is értelmes.

Másik példa:

(x²-x)/(x-1) = 2

Nem vesszük észre, hogy lehet egyszerűsíteni, hanem szorozzunk be a nevezővel, de kikötést is teszünk: amivel szorzunk, vagyis az (x-1) nem lehet nulla, mert nullával szorozva hamis gyököt (megoldást) hoznánk be.

x²-x = 2x-2

x²-3x+2 = 0

megoldóképletből a gyökök:

x1 = 1

x2 = 2

de a kikötés miatt csak x=2 a megoldás. A másik megoldás azért jött be, mert abban az esetben nullával szoroztunk az első lépésben.

Harmadik példa:

2+√(2x²+2) = x-1

itt most induláskor nem is tudnánk semmit sem kikötni, hisz 2x²+2 biztos, hogy pozitív.

kivonunk 2-őt

√(2x²+2) = x-3

négyzetre emeljük a két oldalt. De mivel a négyzetreemelés a negatív számból is pozitívat csinálna, ki kell kötnünk, hogy a jobb oldal nem lehet negatív, szóval x≥3! Ha nem kötnénk ki, megint csak bejöhetnének hamis gyökök.

2x²+2 = x²-6x+9

x²+6x-7 = 0

megoldóképlettel:

x1 = -7

x2 = 1

De mivel egyik sem elégíti ki a kikötést, nincs megoldás.

Utolsó példa:

√(2x²-1) = x

Induláskor kikötjük, hogy 2x²-1 ≥ 0, vagyis x²≥1/2 (tehát x ≥ √2/2 vagy x ≤ -√2/2)

Négyzetreemelünk, de közben azt is kikötjük, hogy x≥0.

2x²-1 = x²

x²-1 = 0

megoldóképletből:

x1=1

x2=-1

Ebből a második nem elégíti ki a kikötéseket. Az első kikötést még kielégíti mindkettő, de a másodikat már nem. A -1 hamis gyök, amit a négyzetreemelés hozott be. Az igazi megoldás x=1.

Megjegyzés: negyzetreemelést valójában szabad akkor is csinálni, ha mindkét oldal negatív. A lényeg, hogy mindkét oldal azonos előjelű legyen. Ezekben a példákban a bal oldalon gyök volt, ami pozitív, azért kellett a jobb oldalnak is olyannak lennie.