Ezt hogy csinálom? (matek)

1. Melyik szöget jelöli az x?

2. " m=cos(x)*2R " ez nem stimmel, m=cos(x)*R+R lehet?!

3. Megy a differenciál számítás?

20:54 -es válaszolónak.

A h/R valóban 1/3. Honnan tudod?? Én egy órát számoltam érte.

A térfogat egy harmada annak, amit írtál, de ez végülis a maximum helyénél nem számít.

Szög helyett nézzük inkább azt, hogy a középponttól milyen messze van a kúp alja (x)

Magassága: m = R+x

alapkör sugara: r

Pitagorasz: r²+x² = R²

V = π/3·r²·m = π/3·(R²-x²)·(R+x)

kissé átalakítva:

V = π/3·(R+x)·(R-x)·(R+x)

V = π/3·(R+x)²·(R-x)

Ennek deriváltja:

V' = π/3·( 2(R+x)(R-x)-(R+x)² )

A második résznek kell 0-nak lennie a szélsőértékhez. (R+x)-et ki lehet emelni:

(R+x)·(2R-2x-R-x)

(R+x)·(R-3x)

ami 0 lesz x=-R-nél valamint x=R/3-nál

Ebből az utóbbi a maximum.

Ha nem is egy órát, de azért számolgattam egy kicsit. :-)

A jelölések értelmezéséhez:

[link]

Az elgondolásom a következő volt:

Felírom a kúp és a gömb térfogatát, veszem a hányadosukat, és ennek a maximuma lesz a megoldás.

Az ábra alapján

A kúp alapkörének sugara

r² = R² - h²

A kúp magassága

m = R + h

Ezekkel a kúp térfogata

Vk = (π/3)*r²*m

Vk = (π/3)(R² - h²)(R + h)

A gömb térfogata

Vg = (π/3)*4*R³

A hányadosuk

q = Vk/Vg

q = (R² - h²)(R + h)/4*R³

Kicsit átlalakítva felírva

q = (1/4)[(R² - h²)/R²][(R + h)/R]

Bevezetve a

h/R = a

jelölést, akkor a kifejezés a következőképp néz ki

q(a) = (1/4)(1 - a²)((1 + a)

q(a) = (1/4)(1 - a)(1 + a)(1 + a)

vagyis

q(a) = (1 + a)²(1 - a)

Ennek a függvénynek kellene a helyi szélsőértéke, amire a deriválás, összevonás után a következő adódott

q'(a) = (1/4)(1 - 2a - 3a²)

A

q'(a) = 0

(1/4)(1 - 2a - 3a²) = 0

egyenlet gyökei

a1 = 1/3

a2 = -1

A második gyök nem értelmezhető a feladatra, így marad, hogy

a = h/R = 1/3

===========

tehát (ha jól számoltam), a gömbbe írható legnagyobb térfogatú kúp adatai:

Az alapkör sugara

r = (2√2/3)*R

magassága

m = (4/3)*R

térfogata

Vk = (32π/81)*R³

A válasz a kérdésedre: innen tudom. :-)

A deriválás miatt bizonytalankodtam, régen volt már, mikor azt tanultam.

DeeDee

**********

A kérdező a kúpszög függvényében kezdte. Itt van az a megoldás is:

[link]

Ha valakit a mozgatható teszt-ábra is érdekel itt megtalálja:

[link]

DeeDee,

A gömb térfogatával nem nagyon érdemes osztani, konstans, csak bonyolít. Persze úgy is jó.

Egy könnyen megjegyezhető deriválási szabály:

(f·g)' = f'·g + f·g'

Így nem kell beszorozni a kifejezést, az (R²-h²)(R+h) direktben deriválható:

-2h(R+h)+(R²-h²)·1

-3h²-2Rh+R²

stb.