Hogyan lehet körből szabályos ötszöget szerkeszteni körző nélkül?

Bongoló!

Nagyon tetszik az ötszög-csomó!

Ezzel még nem találkoztam, köszi az ábrát.

Viszont azonnal felmerült bennem a kérdés: minimum milyen hosszú papírcsík szükséges az alakzathoz? :-)

Cserébe itt egy másik ötszögszerkesztési módszer:

[link]

Ha attól függene a menekülésem egy lakatlan szigetről, hogy tudok-e egy szabályos ötszöget szerkeszteni a part homokjába, már nem lennék kétségbe esve. Lehet válogatni a módszerek közt. :-)

DeeDee

***********

A feladat nagyon szép geometriai problémákat vet fel, amiknek a megválaszolása szerintem meghaladja ennek az oldalnak a kereteit. A kérdés önmagában pontatlanul van megfoglalmazva.

1. Ha adott egy előre megrajzolt körvonal a síkon, akkor ennek a segítségével lehet-e szerkeszteni bele szabályos ötszöget csak vonalzóval? (Kizárólag a hagyományos euklideszi szerkesztéseket megengedve, azaz pl. a fent leírt "origami-szerkesztések" nem megengedettek.)

Válasz: NEM! A bizonyítás röviden annyi, hogy könnyen látszik, hogy ha szabályos ötszöget tudnánk a körbe szerkeszteni, akkor meg tudnánk a kör középpontját is szerkeszteni csak vonalzóval, azonban már ez is lehetetlen. Ez utóbbinak a bizonyítása vázlatosan annyi, hogy meg lehet adni egy olyan projekciót (pontból való vetítést) a térben, mely transzformáció az illeszkedési relációkat megtartja, a megadott körvonalat egy másik körvonalba viszi, egyenesek egyenesek maradnak, ám a kör középpontja nem az új kör középpontjába transzformálódik ennek során. Tehát ha léteznének megfelelő szerkesztési lépések, melyek a kör középpontját adnák az egyik síkon, azokat a másik síkon ugyanúgy végrehajtva ott mégsem a kör középpontját adnák meg.

Tehát amennyiben csak önmagában a körvonal adott, akkor már a kör középpontját sem lehet megszerkeszteni csak vonalzóval, nemhogy beleírt szabályos ötszöget!

Érdekesebb a kérdés akkor, ha nemcsak a körvonal adott, hanem a kör középpontja is.

2. Ha adott egy előre megrajzolt körvonal és középpontja a síkon, akkor ennek a segítségével lehet-e szerkeszteni bele szabályos ötszöget csak vonalzóval? (Kizárólag euklideszi szerkesztésekkel.)

Válasz: IGEN! Ez az eredmény a Poncelet-Steiner-tétel egy következménye, ami azt mondja ki, hogy tetszőleges olyan szerkesztés, mely elvégezhető körzővel és vonalzóval, elvégezhető csak vonalzóval, amennyiben előre adott egy megrajzolt kör(v. csak egy kis körív) és a kör középpontja. /Mellesleg a Mohr-Mascheroni-tétel ennek a társa, miszerint bármely körző+vonalzóval elvégezhető szerkesztés elvégezhető csak körzővel.../

Így ha tehát a körnek a középpontja is adott, akkor szabályos ötszöget is tudunk bele szerkeszteni. /Ehhez érdemes végigkövetni a Poncelet-Steiner-tétel bizonyítását, az ad egy konstruktív eljárást.../ Ha esetleg hihetetlennek hangzik, akár le is írhatom a szerkesztés menetét, nem egy túl rövid dolog, a lényeg azonban az, hogy ilyen szerkesztés ebben az esetben létezik.

Nagyon tetszik az előző hozzászólás, kösz szépen érte!!!

Utánaolvastam most azoknak, amiket írtál, izgalmas dolgok vannak ebben a témában is, sose hallottam eddig róluk (igaz, hogy sosem a geometria volt a kedvencem).

Olvasgatás közben beleakadtam Origami geometriába is, ahol se vonalzó, se körző nincs, csak hajtogatás. Az is nagyon izgalmas dolog lehet, például olyan geometriában lehetséges szög harmadolás is, amit Euklideszi eszközökkel nem lehet megoldani!

Még egyszer kösz a posztért, nagyon élveztem :-)