Egy háromszög eggyik szöge a másik két szög felének az összegének a fele. A két naggyobik szög eggyütvéve akkora, mint a legkisebb szög 3x osa mekkorák a 3 szög szögei?

Két adott feltétel:

1. Egy háromszög egyik szöge a másik két szög felének az összegének a fele.

2. A két nagyobbik szög együttvéve akkora, mint a legkisebb szög 3 szorosa mekkorák a 3 szög szögei?

A harmadik feltétel

3. A háromszög szögeinek összege 180°

*****************************************************

Legyen a következő felállás:

A három szög: α, ß, γ

és

α < ß < γ

A felírható összefüggések

A második feltétel szerint

ß + γ = 3α

Az első feltételből az következik, hogy a két nagyobb szögre lehet csak érvényes, eszerint két lehetőség van:

(A) változat

ß = (α/2 + γ/2)/2 = (α + γ)/4

ß = (α + γ)/4

ill

4ß = α + γ

(B) változat

γ = (α/2 + ß/2)/2 = (α + ß)/4

γ = (α + ß)/4

4γ = α + ß

A két változat egyenletei rendezett formában

(A) változat

3α - ß - γ = 0

α - 4ß + γ = 0

α + ß + γ = 180

--------------------------

A harmadikból kivonva a másodikat

5ß = 180

ß = 36

Az első és második összege

4α - 5ß = 0

ebből ß-t behelyettesítve

α = 45

A harmadik egyenletből α és ß ismeretében

γ = 99

Tehát az (A) változat esetén

α = 45

ß = 36

γ = 99

Nem írom le a (B) változatot is, az (A)-hoz képest annyi a különbség, hogy ß és γ értéke felcserélődik.

Az eredeti egyenletbe behelyettesítve mindkét változat megoldása a feladatnak.

DeeDee

***********

Az első mondatban valószínű nem kellene az, hogy "felének az". Vagyis az egyik szög a másik kettő összegének a fele.

Szóval alfa = (beta + gamma)/2, más szóval beta+gamma = 2 alfa. Mivel a három szög összege 180 fok, ezért tehát alfa kereken 60.

A 60 fokos szög biztos nem a legkisebb, mert akkor a szögek összege már túl sok lenne. Vagyis alfa egyike a két legnagyobbnak. A másik legyen mondjuk a béta. Ekkor a második mondat azt jelenti, hogy

alfa + béta = 3 gamma

mindkét oldalhoz adjunk hozzá gammát:

180 = 4 gamma (hisz alfa+beta+gamma = 180)

Ebből gamma = 45 fok

A béta már egyszerűen adódik, le se írom :)

A:

α, ß, γ – a szögek

α = 1/2*(1/2*ß+1/2*γ) = 1/4*ß +1/4*γ,

ebből látni, hogy az „α“ nem lesz a legnagyobb szög, mert ha a „ß“ és a „γ“ egyforma nagyságúak, még akkor csak ezeknek a fele lesz (akkor α = 1/2*ß = 1/2*γ), tehát az „α“ vagy a legkisebb szög lesz, vagy a második a sorrendben. Vizsgáljuk meg külön külön ezt a két lehetőséget:

1) „α“ a legkisebb szög, akkor:

3*α = ß + γ

α = 1/4*ß +1/4*γ,

Az elsőből: α = (ß + γ)/3

(ß + γ)/3 = 1/4*ß +1/4*γ /*12

4*ß + 4*γ = 3*ß + 3*γ /-3*ß -3*γ

ß + γ = 0

ß = -γ

2) „ß“ legyen a legkisebb szög és akkor a legnagyobb a „γ“ lesz, akkor írhatjuk:

3*ß = α + γ, ebből:

α = 3*ß - γ

α = 1/4*ß +1/4*γ

3*ß – γ = 1/4*ß +1/4*γ /*4

12*ß – 4*γ = ß + γ / + 4*γ - ß

11*ß = 5*γ

γ = 11*ß/5

α + ß + γ = 180°

3*ß – γ + ß + γ = 180°

4*ß = 180°

ß = 45°

γ = 11*ß/5 = 11*45/5 = 99°

α = 3*ß – γ = 3*45 – 99 = 36°

B:

α, ß, γ – a szögek

3*α = ß + γ

α + ß + γ = 180°

α + 3*α = 180°

4*α = 180°

α = 45° - ez a legkisebb szög

1) Tételezzük fel, hogy: α = 1/2*(1/2*ß+1/2*γ) = 1/4*ß +1/4*γ, akkor:

45° = 1/4*ß +1/4*γ /*4

180° = ß + γ, ez nem lehetséges, mert akkor: α + ß + γ > 180°, tehát marad a másik lehetőség:

2) ß = 1/2*(1/2*α +1/2*γ) = 1/4*α +1/4*γ

ß = 1/4*45° +1/4*γ /*4

4*ß = 45° + γ /-45°

4*ß – 45° = γ

α + ß + γ = 180° = 45° + ß + (4*ß – 45°) = 5*ß

ß = 180°/5 = 36° itt megint a „ß“ jött ki a legkisebb szögnek, miközben az „α“ már egyszer kijött a legkisebb szögnek.

Nekem se jön ki. Akkor már ketten vagyunk. Számolja ki aki akarja. Neked is így jött ki? Ha igen, írd meg, hogy tudjam.

Ezzel a szöveggel a feladat tényleg nem jön ki, ezért írtam fentebb a módosított szöveghez (vagyis hogy az első mondatban csak egyszer van felezés) tartozó megoldást.

Azért az eredeti szövegnél sem kell a megoldást nagyon elbonyolítani:

Az első állításból:

α = (β+γ)/4

4α = β+γ // mindkét oldalhoz adjunk α-t

5α = α+β+γ = 180

α = 36

A második állításból:

α nem lehet a legnagyobb, mert akkor a belső szögek összege nem lehetne 18ö fok.

a) α a legkisebb

β+γ = 3α = 108 // mindkét oldalhoz adjunk α-t

α+β+γ = 108+36 nem jó, tehát α nem lehet a legkisebb.

b) α a középső, nevezzük mondjuk γ-nak a legkisebbet

α+β = 3γ // mindkét oldalhoz adjunk γ-t

α+β+γ = 180 = 4γ

γ = 45

de 45 nagyobb 36-nál, tehát nem a legkisebb, vagyis nincs megoldás.

DeeDee: a levezetésed technikailag jó, de nem jöttél rá a végén, hogy ami kijött, nem lehet megoldás. Rudolf.th: neked is jó a levezetésed (bár kicsit el van bonyolítva), és rá is jöttél, hogy nincs megoldás.

Szerintem vagy el van írva a feladat, és igaziból csak egyszer kell felezni, és akkor az első válaszomban van a megoldás, vagy ha ez a pontos feladat, akkor nincs megoldása. Egyébként az is teljesen legális dolog, nem kell tőle megijedni.