Valaki sürgősen: Hogyan kell megoldani a másodfokú paraméteres egyenletet? Példával

x² + px + 20 = 0

Viète-formulák (a konkrét feladatra alkalmazva):

x₁ + x₂ = -p

x₁ · x₂ = 20

A baj csak az, hogy a feladat az x₁ - x₂ KÜLÖNBSÉGRŐL követel meg valamit, márpedig a Viète-formulák csak a két gyök

ÖSSZEGÉT ÉS KÜLÖNBSÉGÉT teszik megragadhatóvá számunkra.

(bocsánat, hirtelen elszállt valami, mindjárt folytatom)

(-b+-sqrt[b^2-4ac])/2a=(-p+-sqrt[p^2-100])/2

x1=-p-sqrt[p^2-100]

x2=-p+sqrt[p^2-100]

"az egyenlet két gyökének különbsége 1 legyen"

Szemmel láthatólag x2>x1, ezért:

x2-x1=1

-p+sqrt[p^2-100]-(-p-sqrt[p^2-100])=1

Ránézéses megoldás: p = -9 vagy p = 9, mert 5*4=20 ((-5)*(-4)=20)

Levezetés:

x1 = (-p + gyök(p^2-80))/2

x2 = (-p - gyök(p^2-80))/2

x1 - x2 = ((-p + gyök(p^2-80)) - (-p - gyök(p^2-80)))/2 = 2*gyök(p^2-80)/2 = gyök(p^2-80)

A feladat szerint pedig gyök(p^2-80) = 1

p^2-80 = 1

p^2 = 81

p1 = 9 és p2 = -9

p1 esetén a gyökök -4 és -5, p2 esetén 4 és 5.

Azt hiszem, Viète-formulák nem is kellenek, viszont a diszkrimináns fogalma valóban előjön.

Hogyan is vezette le a matekkönyv a Viète-formulákat? Lehet máshogy is csinálni, de mi közvetlenül a megoldóképletből vezettük le annak idején:

Szóval vegyünk általában tetszőleges

ax² + bx + c = 0

alakú egyenletet.

Jelöljük D-vel jelölje azt a kifejezést, hogy b² - 4ac (igen, ez a diszkrimináns)

A megoldóképlet:

x₁ = (-b + √D)/(2a)

x₂ = (-b - √D)/(2a)

és ebből már könnyű volt levezetni, hogy

x₁ + x₂ = -b/(2a)

mert éppen kiesnek a ronda gyökös diszkriminánsok, hisz épp ellentétes előjellel szerepelnek. Így bizonyítottuk be annak idején a gyökök összegére vonatkozó Viète-formulát. A másik Viète-formula bizonyítása hasonló volt, bár egy kicsit trükkösebb.

Most persze itt már nem Viète-formulát kell levezetnünk, hiszen a feladat itt nem a gyökök összegére vagy szorzatára kérdez rá, hanem a KÜLÖNBSÉGÜKRE.

De ettől még nyugodtan eljárhatunk hasonló gondolatmenet szerint, mint ahogy annak idején a Viète-formulákat levezettük.

Szóval megint vegyünk általában tetszőleges

ax² + bx + c = 0

alakú egyenletet.

Jelöljük D-vel jelölje azt a kifejezést, hogy b² - 4ac (igen, ez ismét a diszkrimináns fogalma)

A megoldóképlet:

x₁ = (-b + √D)/(2a)

x₂ = (-b - √D)/(2a)

és ebből próbáljuk meg levezetni azt, hogy miképp is egyszerűsíthető a

x₁ - x₂

kifejezés.

Nohát

x₁ - x₂ = (-b + √D)/(2a) - (-b - √D)/(2a)

közös nevező eleve készen áll

x₁ - x₂ = [(-b + √D) - (-b - √D)] / (2a)

nézzük meg, mi is történik a számlálóban:

(-b + √D) - (-b - √D) = -b + √D + b + √D

vagyis b kiesik, √D viszont duplán is szerepel. Tehát a számlálóban 2√D áll:

x₁ - x₂ = 2√D/(2a)

vagyis 2 kiesik,

x₁ - x₂ = √D/a

Ez egy igen értékes eredmény. Most végre alkalmazhatjuk ezt a konkrét feladatra:

x² + px + 20 = 0

mennyi is itt a diszkrimináns? Elsőfokú tag együtthatójának négyzete minusz másik két együtthatójának négyszeres szorzata:

D = p² - 4·1·20

vagyis

D = p² - 80

A két gyök különbségét, a korábbi fejtegetés szerint, az

√D/a

kifejezés adja, de szerencsére itt az ,,a'', vagyis a másodfokú tag együtthatója éppen 1, szóval itt a két gyök különbségét egyszerűen a

√D

kifejezés adja.

Szóval a feladat követelménye (miszerint a két gyök különbsége épp 1 legyen) úgy is felírható, hogy

√D = 1

dehát mivel éppen csakis az 1-nek lehet a gyöke éppen 1 (és másnak nem), ezért ez ugyanaz, mintha azt követelnénk meg, hogy

D = 1

Vagyis tulajdonképpen a feladat csak annyit követel meg, hogy milyen p paraméter esetén lesz az egyenlet diszkriminánsa éppen 1:

p² - 80 = 1

ez pedig egy csinos egyenlet, nem lesznek rondák az eredmények:

p² - 80 = 1

mindkét oldalhoz 80-at adva

p² = 81

Hála Istennek jobboldalt épp négyzetszám áll:

p² = 9²

p = ±9

A Viéte-formulás variáció (sokkal rövidebb):

A gyökök különbsége 1, vagyis a két gyök x és x+1

A két egyenletem tehát:

x+x+1=-p

x*(x+1)=20

A másodikból a megoldások: 4 és -5

Innét helyettesítsünk be az első egyenletbe:

2*4+1=-p --> p1=-9

2*(-5)+1=-p --> p2=9

Nagyon köszönöm, sokat tanultam ebből.

Én még egyet találtam, de az csak részben különbözik ettől, nincs benne sok új ötlet, csak egy kicsi.

Szóval

x² + px + 20 = 0

ez a paramétes egyenletünk van. A feladat feltétele (F) szerint a két megoldás különbsége épp 1 legyen:

F: x₂ - x₁ = 1

és ebből a feltételből kell VISSZAKÖVETKEZTETNÜNK arra, mi is maga az egyenlet. Konkrétan, mivel paraméteres egyenletről van szó, ez a p paraméter értékére való viszakövetkeztetést jelenti.

Itt tehát afféle „fordított irányú” problémával nézünk szembe. Általában meg van adva egy konkrét egyenlet, és kell mondanunk valamit a gyökökről. Pl. ki kell hoznunk őket, vagy esetleg kell valamit mondanunk róluk. (Ha nem maguk a gyökök kellenek, hanem csak a gyökök összege vagy szorzata kell, vagy esetleg olyasmi, ami ebből származtatható, akkor kifejezetten jó szolgáltatot tesznek a Viète-formulák).

Most azonban nem ilyen irányban kell gondolkodnunk, hanem szinte éppen hogy fordítva: a gyökökről tudunk valamit, és az egyenletre kell visszakövetkezetnünk.

Ebben a konkrét feladatban is segítségünkre lesznek a Viète-formulák: segítségükkel „visszafejthetjük” az egyenletet a gyökeire adott feltételekből (vagyis visszakövetkeztethtünk a p paraméter lehetséges értékeire).

Írjuk is fel most a két Viète-formulát a konkrét feldatra (V₊-szal jelölöm a gyökök összegére vonatkozó Viète-formulát, Vₓ-szal pedig a gyökök szorzatára vonatkozó Viète-formulát):

V₊: x₁ + x₂ = -p

Vₓ: x₁ · x₂ = 20

Az eredeti paraméteres egyenletünk visszafejtésében (vagyis a p paraméter meghatározásában) tehát immár három egyenletből álló egyenletrendszer áll segítségünkre:

F: x₂ - x₁ = 1

V₊: x₁ + x₂ = -p

Vₓ: x₁ · x₂ = 20

F az nem más, mint a gyökök különbségére tett feltétel, ami a feladatban adva volt, V₊ és Vₓ pedig a két Viète-formula.

Az előző válasz azt az utat követte, hogy első lépésben a Vₓ és F kettőséből álló részrendszert oldotta meg:

Vₓ: x₁ · x₂ = 20

F: x₂ - x₁ = 1

megoldása x₁, x₂-re:

(x₁, x₂)₁ = (4, 5)

(x₁, x₂)₂ = (-5, 4)

/Ez kijön egyik változó kifejezésével és a társegyenletbe való behelyetesítésével, majd az így kapott másodfokú egyenlet megoldóképletes megoldásával, de aki úgy jobban szereti, megsejthető a Viète-formulák egy furcsa, „másodszintű” alkalmazásával is, bár ekkor már talán egyszerűbb a sejtést közvetlenül ránézésre megtenni bármiféle átalakítás nélkül is, pusztán számelméleti megfontolások alapján. Mivel másodfokú egyenletnek legfeljebb két megoldása lehet, a már sikerrel megsejtett megoldásokon túl biztos nincs több./

No és miután ezt a Vₓ és F kettőséből álló részrendszert immár megoldottuk, a következő lépés az lesz, hogy az így kapható behelyettesítéseket alkalmamzzuk a harmadik, „még el nem sütött” részegyenletre, vagyis V₊-ra:

V₊: x₁ + x₂ = -p

(x₁, x₂)₁ = (+4, +5) esetén 9 = -p, vagyis p = -9

(x₁, x₂)₂ = (-5, -4) esetén -9 = -p, vagyis p = 9

Szóval p = ±9 a válasz a feladat eredeti kérdésére, a p paraméter lehetséges megfelelő értékeire.

Ezután azonban egy másik utat is megnéztem. Menjünk vissza odáig a pontig, amikor éppen felírtuk a három részfeltételből álló egyenletrendszert:

F: x₂ - x₁ = 1

V₊: x₁ + x₂ = -p

Vₓ: x₁ · x₂ = 20

Most az lenne a különbözőség az előző megoldási úthoz képest, hogy más „sorrendben”, más „koreográfia” szerint „eresztem össze” a részegyenleteket. Az előbb az volt, hogy

- ELSŐ LÉPÉSBEN a Vₓ és F kettőséből álló részrendszert oldottuk meg,

- MAJD miután ez megvolt, MÁSODIK LÉPÉSBEN az ebből levont információt „eresztettük rá” a harmadik, „még el nem sütött” részegyenletre, vagyis V₊-ra

Viszont ezúttal éppen a másik lehetséges „koreográfia” szerint „eresztem össze” a részegyenleteket:

- ELSŐ LÉPÉSBEN a V₊ és F kettőséből álló részrendszert oldanám meg,

- MAJD miután ez megvolt, MÁSODIK LÉPÉSBEN az ebből levont információt „eresztem rá” a harmadik, „még el nem sütött” részegyenletre, vagyis Vₓ-ra

Konkrétan:

ELSŐ LÉPÉS: a V₊ és F kettőséből álló rész-egyenletrendszer

V₊: x₁ + x₂ = -p

F: x₂ - x₁ = 1

Az egyenlő együtthatók módszerével hamar kihozható, hogy

F + V₊: 2x₂ = 1 - p, tehát x₂ = (1-p)/2

V₊ - F: 2x₁ = -p - 1, tehát x₁ = -(p + 1)/2

MÁSODIK LÉPÉS: a V₊ és F kettőséből álló részrendszerből IMMÁR LESZŰRT információt „eresztem” rá a „hátralevő”, „még el nem sütött” részegyenletre, vagyis Vₓ-ra:

Vₓ: x₁ · x₂ = 20, ahol immár tudjuk, hogy x₁ = -(p+1)/2, és x₂ = (1-p)/2

Elvégezve a behelyettesítést, kapjuk:

[-(p + 1)/2]·[(1-p)/2] = 20

a baloldal kifejezésében a kézreadódó egyszerűsítéseket megtesszük:

Előjelszabályok:

[-(p + 1)/2]·[(1-p)/2] = [(p + 1)/2]·[-(1-p)/2] = [(p+1)/2]·[(p-1)/2]

Törtek szorzására vonatkozó szabályok:

[(p+1)/2]·[(p-1)/2] = (p + 1)(p-1)/2² = (p + 1)(p-1)/4

Még egy algebrai azonosság kihaszálása az asszociativitás kapcsán:

(p+1)(p-1)/4 = (p²-1²)/4 = (p²-1)/4

szóval az egyenlet az új balodallal immár így fog kinézni:

(p²-1)/4 = 20

ezt már könnyen megoldhatjuk:

p²-1 = 80

p² = 81

p² = 9²

p = ±9