Hogy igazoljam? (11-es matek)
Van egy sorozatom: x_n=(2n)!/n^n
Azt szeretnem igazolni, h felulrol nem korlatos.
en ugy probaltam, h: tudjuk, h n^2<<2^n<<n!<<n^n, ha n egy nagyon nagy szam.
Ha az x_n felulrol nem korlatos<=> barmely M>0 eseten letezik n= eleme N u.h M<x_n
M<(2n)!/n^n
a sorozatot minoralom azzal, hogy a (2n)! helyett (2n)^2n-et irok.
M<(2n)^2n/n^n=(4n^2)^n/n^n= (4n)^n
(M^(1/n))/4<n , tehat n=[(M^(1/n))/4]+1 ahol [x] az x szam egesz resze.
Ez igy jo, ahogy csinaltam? Vagy egyaltalan nem igy kell ezt igazolni?
válasza:Tehát azt kell igazolnod, hogy végtelen a határértéke. Ennek rövid indoklása annyi, hogy a számláló gyorsabban növekszik, mint a nevező.
Bővebben:
Számláló: 1*2*3*4*5*.......*n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*.....*2n
n után még n darab, n-nél nagyobb szám van.
Nevező: n*n*n*n*n*n*......*n ---> n darab n
Ha az n-nél nagyobb számokat az egyszerűség kedvéért n-nek tekinted (ami nyilván nincs így), akkor n^n-nel lehet egyszerűsíteni, és marad n!, aminek a határértéke tényleg a +végtelen.
válasza:Próbáltam belehelyezkedni a gondolatmenetedbe, de nem nagyon sikerült. Mát ott is gondjaim vannak vele, hogy ha (2n)! helyett (2n)^2n-et írsz, akkor egy nagyobb számmal helyettesíted... és az sem egyértelmű számomra, hogy amit leírtál, az miért is bizonyítás.
Ha a sajátomból kiveszem a határértéket:
"Röviden: a számláló gyorsabban növekszik, mint a nevező.
Bővebben:
Számláló: 1*2*3*4*5*......*n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*.....*2n
n után még n darab, n-nél nagyobb szám van.
Nevező: n*n*n*n*n*n*......*n ---> n darab n
Ha az n-nél nagyobb számokat az egyszerűség kedvéért n-nek tekinted (ami nyilván nincs így, mert ezek ennél nagyobbak), akkor n^n-nel lehet egyszerűsíteni, és marad n! (a valóságban persze ennél nagyobb szám lesz, de nekünk ennyi is elég). Az a_n = n! sorozatról pedig tudjuk, hogy nincs felső korlátja."
Jobb ötletem egyelőre nincs, de még gondolkozom a dolgon és a te gondolatmenetedet is rágom.
en ugy tanultam, h: a_n sorozat nem korlatos felulrol <=> barmegy M>0 eseten letezik n eleme N u.h M<a_n
tehat lesz M<(2n)!/n^n es ebbol ki kell fejezem az n-et.
válasza:A definíció természetesen jó. Ha ragaszkodsz ehhez a gondolatmenethez, akkor én megpróbálnám az indirekt módot, vagyis felteszed, hogy a sorozat korlátos. Ennek megfelelően számolsz-számolsz, majd a végén olyasmi fog kijönni, ami ellentmond a korlátosságnak, így arra következtetsz, hogy az alapfeltevés rossz volt, tehát a sorozat nem korlátos.
(Mellesleg, az én bizonyításom nem tetszik, vagy megadja a feladat, hogy a definícióból kell kiindulni?)
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!