Egy geometriai és egy egyenlőtlenség feladatra várnék ötletek, részletek lent (? )

1. feladat ötletek:

- Készítesz egy vázlatot a feladathoz. Ránézel, és egyből látod (megsejted), hogy ED párhuzamos CB-vel. -> A kör segítségével bebizonyítod.

- Ha már párhuzamos, akkor van egy jó kis párhuzamos szelő, és szelőszakaszok tétel, amiből felírható 3 arányosság: (1)EG/CF=AE/AC; (2)GD/FB=AD/AB; (3)AE/AD=AC/AB

- Az arányosságokat egyenletként kezelve, (1)-ből kifejezve AE-t, (2)-ből pedig AD-t, behelyettesítve (3)-ba, és felhasználva, hogy FB=CF (mert F oldalfelező pont) Éppen GD/GE=(AC)^2/(AB)^2-et kapunk, ami által bizonyítást nyer a feladat. :)

2. feladat ötletek:

- Megpróbáljuk simán négyzetre emelgetni, látjuk hogy nem jó, mert ki...ott bonyolult lesz, ezért:

- Kibontod a bal oldal első részét=a^2+2ab+b^2+c^2, majd a második részét is=a^2-2ab+b^2+c^2, a jobb oldalt hagyjuk változatlanul.

- Összenézzük a bal oldali két kifejezést a jobb oldali 3.-kal, és rájövünk, hogy majdnem teljesen a^2+b^2+c^2-tel egyezik meg mindegyik, tehát bevezetünk egy d=a^2+b^2+c^2 jelölést. Így: d+2ab+gyök(d-2ab)>2gyök(d-b^2)-vé alakítjuk.

- Királyok vagyunk, de még mindig sok a betű. Meg is mondom, b-ből van sok. Ezért úgy ahogy van, beosztunk vele (megtehetjük, mivel pozitív valós, ezért nem=0).

- Ne legyen csúnya törtünk, ezért d/b=e betűt alkalmazunk, és a jobb oldali kifejezést is átvisszük balra. Így e+2a+gyök(e-2a)-2gyök(e-1)>0

- Még frankóbb. Csupa pozitív, csak egy negatív kifejezés: -2gyök(e-1). Azt pedig teljes négyzetté alakítjuk a "teve-szabály" segítségével (ami nincs, azt odatesszük, majd elvesszük, így olyan mintha nem csinálnánk semmit, de meg lehet oldani a feladatot).

- Azaz (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 alakú kifejezésből megvan a -2xy=-2gyök(e-1). Esetünkben akkor: [gyök(e-1)-1]^2=e-1-2gyök(e-1)+1 -> -2gyök(e-1)=[gyök(e-1)-1]^2-e+1-1 -et beírva a kifejezésbe (+1-1-gyel egyszerűsítve):

e+2a+gyök(e-2a)+[gyök(e-1)-1]^2-e>0 (egyszerűsítve e-vel csupa pozitív szám összege még naná, hogy pozitív :) ).