Az ABC háromszögben (AD az A szög szögfelezője, M az (AD) felezőmerőlegesének metszéspontja az (AC) oldallal. DM=8cm. Mennyi az AB és AC szakaszok hosszának harmonikus közepe?

Érdekes feladat! :-)

A jelölések értelmezése a

[link]

linken található, remélem jól értelmeztem a feladatot.

A harmonikus közép definíciójából levezetve

H(b, c) = 2bc/(b + c)

Az ábra alapján, mivel az AMDN négyszög egy deltoid,

b = f + x

c = f + y

Behelyettesítve

H(b, c) = 2bc/(b + c) = 2(f + x)(f + y)/(f + x + f + y)

H(b, c) = 2[f² + xy + f(x + y)]/(2f + x + y)

Az x és y értéke kellene még

A rajzon látható MCD háromszög hasonló az NDB háromszöghöz, ezért

x/f = f/y

vagyis

f² = xy

A megadott adatokból az x és y szakaszokra csak ennyit lehet megállapítani, a konkrét hosszukat nem lehet meghatározni(Nekem legalább is nem sikerült). :-). Mint később kiderült, nincs is rá szükség.

Az f² = xy összefüggés szerint a megadott szakasz (f) az x és y szakasz mértani közepe, de azt is mondja, hogy egyikük bizonyos határok közt tetszőlegesen válaszható, ezáltal a másik automatikusan adódik.

Mivel a D pont helye kötött, rajta keresztül különféle hajlásszöggel lehet meghúzni az 'a' oldalt, ezzel változtatva az x és y értékét, egészen addig, míg x>0 vagy y>0.

Vissza a harmonikus közép képletéhez. Az újonnan kapott összefüggést behelyettesítve

H(b, c) = 2[f² + xy + f(x + y)]/(2f + x + y)

H(b, c) = 2[2f² + f(x + y)]/(2f + x + y)

A számlálóban f-et ki lehet emelni

H(b, c) = 2f[2f + x + y]/(2f + x + y)

Egyszerűsítés után

H(b, c) = 2f

=========

Kissé hihetetlennek tűnt az eredmény, de szerkesztés után beigazolódott, hogy helyes.

DeeDee

***********