Elmagyarázná nekem valaki, hogy mit hogy kell kiszámolni?

1. ha a magasságvonal felezi az átfogót, akkor a derékszögű háromszöged egyenlő szárú

2. a magasságvonallal alkotott háromszögek egybevágóak és derékszögűek ( hiszen a magasságvonal merőleges az átfogóra ), így a pitagorasz-tétel alkalmazható rá.

egyébként az eredeti háromszögnél a pitagorasz-tétel ( a-a befogók, b az átfogó hossza :

a^2+a^2=b^2

a magasság vonallal alkotott 3-szögekre pedig itt az a oldal lesz az átfogó :

a^2=m^2+(b/2)^2

remélem válaszoltam, mert nem igazán érttettem a kérdésedet

Tehát, ha jól értem: egy derékszögű háromszög 6 adata közül bármely kettőt kiválasztva hogyan lehet a többit kiszámítani.

Az említett adatok:

a, b, c, m, ca, cb

ahol

ca - az 'a' oldal

cb - a 'b' oldal

átfogóra eső vetülete és

ca + cb = c

-------------------

A hat adatból 15 pár képezhető

(a, b) - (a, c) - (a, m) - (a, ca) - (a, cb)

(b, c) - (b, m) - (b, ca) - (b,cb)

(c, m) - (c, ca) - (c, cb)

(m, ca) - (m, cb)

(ca, cb)

A megoldáshoz a következő elvet lehetne alkalmazni: mivel egy háromszög minden adata kiszámolható az oldalak ismeretében, ezért a különféle adatpárok esetén célszerű az oldalakat meghatározni.

Két arányossági tétel, amit fel kell használni a továbbiakban

(A)

A befogókra érvényes, hogy egy befogó mértani középarányos az átfogó, és a befogó átfogóra eső vetülete közt, vagyis

c*ca = a²

c*cb = b²

(B)

A magasság mértani középarányos az átfogó két szelete közt, vagyis

ca*cb = c²

-------------------

Most lássuk a különféle adatpárok eseteit. Zárójelben a két megadott adat.

1. (a, b)

c = √(a² + b²)

m = a*b/c

az (A)-ból

ca = a²/c

cb = b²/c

2. (a, c)

b = √(c² - a²)

m = a*b/c

ca = a²/c

cb = b²/c

Ez a két eset tartalmazza azokat az alap összefüggéseket, melyeket a további esetekben alkalmazni lehet. A további esetekben csak az oldalak meghatározását vezetem le.

3. (a, m)

Az (A) tételből

a² = c*ca

c = a²/ca

de

ca² = a² - m²

ca = √(a² - m²)

így

c = a²/√(a² - m²)

============

Az

m = a*b/c

képletből

b = m*c/a

========

4. (a, ca)

(A)-ból

a² = c*ca

c = a²/ca

========

b = √(c² - a²)

==========

5. (a, cb)

(A)-ból

a² = c*ca

(A)-ból

a² = c*(c -cb)

Ebből c-re másodfokú egyenlet adódik

0 = c² - c*cb - a²

és a pozitív gyök a jó, vagyis

c = cb + √(cb² + 4a²)

===============

b = √(c² - a²)

==========

6. (b, c)

a = √(c² - b²)

==========

7. (b, m)

Az (A) tételből

b² = c*cb

c = b²/cb

de

cb² = b² - m²

cb = √(b² - m²)

így

c = b²/√(b² - m²)

============

Az

m = a*b/c

képletből

a = m*c/b

========

8. (b, ca)

(A)-ból

b² = c*cb

(A)-ból

b² = c*(c -ca)

Ebből c-re másodfokú egyenlet adódik

0 = c² - c*ca - b²

és a pozitív gyök a jó, vagyis

c = ca + √(ca² + 4b²)

===============

a = √(c² - b²)

==========

9. (b,cb)

(A) ból

b² = c*cb

c = b²/cb

=======

a = √(c² - b²)

==========

10. (c, m)

Az

m = a*b/c

m*c = a*b

b = √(c² - a²)

m*c = a*√(c² - a²)

Mindkét oldalt négyzetre emelve, rendezve

0 = a^4 - a²c +m²c²

az

a² = k

helyettesítéssel a

0 = k² - k*c + m*c²

egyenlet adódik, melynek gyökei

k1 = [c² + √(c^4 - 4*m²c²)]/2

k2 = [c² - √(c^4 - 4*m²c²)]/2

a² = k -ból

a = √k

így a

√k1 - a hosszabbik befogó

√k2 - a rövidebb befogó értéke

======================

A diszkriminánsból

c^4 - 4*m²c² = c²(c² - 4*m²)

látszik, hogy akkor van megoldás, ha

c² - 4*m² ≥ 0

c ≥ 2*m

tehát így ellenőrizhető, hogy két megadott értékpár (c, m) alkothat-e derékszögű háromszöget.

11. (c, ca)

(A)-ból

a² = c*ca

b² = c*cb

a = √(c*ca)

========

b = √[c*(c - ca)]

============

12. (c, cb)

az előző eset alapján

a = √[c*(c - cb)]

=============

b = √(c*cb)

============

13. (m, ca)

a² = m² + ca²

a = √(m² + ca²)

===========

(A)-ból

c = a²/ca

c = (m² + ca²)/ca

=============

b = √(c² - a²)

b = √[(a²/ca)² - m² - ca²]

==================

14. (m, cb)

Az előző eset alapján

b = √(m² + cb²)

===========

c = b²/cb

c = (m² + cb²)/cb

=============

b = √(c² - b²)

b = √[(b²/cb)² - m² - cb²]

==================

15. (ca, cb)

A (B) tételből

c = √(ca*cb)

=========

(A) -ból

a² = c*ca

a = √(c*ca)

========

b² = c*cb

b = √(c*cb)

========

Az adatok köre még bővíthető lenne pl. a terület (T), beírt kör sugara (r), súlyvonalak (Sa, Sb, Sc), szögfelezők (Fa, Fb, Fc) értékeivel, de bevezetésként a fenti 6 adat is elég. :-)

Remélem, nem vétettem hibát, és tudod használni a fenti összefüggéseket.

Ha kérdésed van, írj nyugodtan.

DeeDee

**********