Segítene valaki? elakadtam Egyenletrendszer: x négyzet +y négyzet +x+y=14 xy=3

x^2+y^2+x+y=14

xy=3

Tudjuk, hogy (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. Próbáld meg valahogy belecsempészni a 2. egyenletet az elsőbe úgy, hogy használni lehessen az előző azonosságot.

Ha megvan, egy (x+y)-ban másodfokú egyenletet kapsz, ezt megoldod, így lesz egy olyan egyenletrendszered, amiben ismered x+y-t és xy-t. Ezt pedig már könnyű megoldani úgy, hogy kifejezed az egyik ismeretlent.

nem feltétlenül kell ügyeskedni, lehet erőből a megszokott, bármikor használható módon is eljárni (ha nincs valami nagyszerű egyszerűsítő ötleted ):

xy=3 innen x=3/y ez beírod x helyére a másik egyenletbe

x négyzet +y négyzet +x+y=14

(3/y)^2+y^2+3/y+y=14

(9+y^2)/y^2+(3+y)/y=14 / *y^2

9+y^2+3y+y^2=14y^2

12y^2-3y-9=0

y=(3+-gyök(9+4*12*9))/24

y=(3+-21)/24

y(1)=1

y(2)=-18/24=-3/4

x(1)=3

x(2)=3/-3/4=-4

Nem kell messze szaladni, hogy "valami nagyszerű egyszerűsítő " ötletet találjon az ember.

Az ötlet Tywin érdeme, én csak részletezném.

x² + y² + x + y = 14

xy = 3

------------

A 'becsempészést' úgy lehet elérni, hogy a második egyenlet kétszeresét hozzáadjuk az elsőhöz

Így az egyenlet

x² + y² + x + y + 2xy = 20

(x + y)² + (x + y) = 20

alakra hozható.

Legyen

x + y = a

akkor

a² + a - 20 = 0

Ennek van két szép tisztességes gyöke

a1 = 4

a2 = -5

Ezután nincs más hátra, mint megoldani az

x + y = 4

xy = 3

és az

x + y = -5

xy = 3

egyenletrendszereket

Az

x + y = p

xy = q

típusú egyenletrendszer általános megoldása

x1 = p/2 + √[(p/2)² - q]

x2 = p/2 - √[(p/2)² - q]

Esetünkben

ha

p = 4

q = 3

x1 = 3

x2 = 1

ezekhez

y1 = 1

y2 = 3

tartozik

ha

p = -5

q = 3

x1 = -2,5 + √3,25 = -(2,5 - √3,25)

x1 = -2,5 - √3,25 = - (2,5 + √3,25)

Ennek az esetnek a próbáját a kérdezőre bízom. :-)))

Tehát a biztos megoldások az

x = 3; y = 1

és

x = 1; y = 3

szimmetrikus értékpárok

************************

Végül egy megjegyzés DudoloPocok megoldásához

Az eredeti egyenletek

x² + y² + x + y = 14

xy = 3

az

x = 3/y

behelyettesítése után

9/y² + y² + 3/y + y = 14

ha mindkét oldalt megszorzom y²-tel, akkor

9 + y^4 + 3y + y^3 = 14y²

lesz, és nem az, amit a válaszban látni.

Ez így egy szépen fejlett negyedfokú egyenlet, aminek nem igazán értem a közölt megoldását.

DeeDee

***********