Matek 10. es anyag. Hogyan lehetne ezt megoldani? (kép melléklet)

A tétel alapján h/2 = y/(x+y)

A másik háromszögben a BB' és a CC' a párhuzamos szelők, itt h/5 = x/(x+y)

Ha a két egyenletet összeadod, akkor

h/2 + h/5 = y/(x+y) + x/(x+y) = (x+y)/(x+y) = 1

Ebből már h kiszámítható.

Egy ilyen egyszerű, de szép feladat szebb választ érdemel. :-)

Átfogalmazva a feladatot: adott két különböző magasságú, egymástól valamilyen távolságra álló oszlop.

A kérdések

a.) Milyen arányban osztja az átlók metszéspontja (a továbbiakban metszéspont) az oszlopok távolságát?

b.) Milyen magasan van a metszéspont a talajtól?

Mielőtt valaki megakadna az 'átlók'-on: ha a rajz szerinti A' és C' pontokat összekötöm, akkor egy hanyatt esett derékszögű trapéz 'fekszik' előttünk, ennek az átlói látszanak a rajzon (AC' és CA'). :-)

Legyen

h = 2 cm - a rövidebb

H = 5 cm - a hosszabbik oszlop magassága

L - a két oszlop távolsága

a - a metszéspont távolsága a rövidebb oszloptól

b - a metszéspont távolsága a hosszabbik oszloptól

a + b = L

m = ? - az átlók metszéspontjának magassága

a/b = ?

A megoldáshoz csupán két összefüggés szükséges, amit a párhuzamos szelők tételét alkalmazva lehet felírni.

a.) kérdés

(1) H/L = m/a

(2) h/L = m/b

A két egyenletet elosztva egymással (1)/(2)

H/h = b/a

=======

ill.

h/H = a/b

========

Az első kérdésre máris megvan a válasz: az oszlopok közti távolságot az átlók metszéspontja az oszlopok magasságának arányában osztja.

b.) kérdés

Az (1) egyenletből

m = H*a/L

mivel L = a + b

m = H*a/(a + b)

A jobb oldal számlálóját és nevezőjét elosztva 'a'-val

m = H/(1 + b/a)

fentebb láttuk, hogy

b/a = H/h

ezt behelyettesítve

m = H/(1 + H/h)

a jobb oldalt átalakítva (számláló és nevező szorozva 'h'-val)

m = (H*h)/(H + h)

számlálót és nevezőt osztva (H*h)-val

m = 1/(1/h + 1/H)

mindkét oldal reciprokát véve

1/m = 1/h + 1/H

============

alakú szép összefüggés jön ki.

Ezzel a második kérdésre a válasz: a metszéspont magasságának reciproka egyenlő az oszlopok magassága reciprokának összegével.

Ami esetleg érdekes és nem azonnal belátható, hogy a két válasz értéke nem függ az oszlopok távolságától!

A behelyettesítést a kérdezőre bízom, ha esetleg még visszanéz a feladatra.

DeeDee

*************