Az ABC háromszög A-ban derékszögű, BM oldalfelező, M ∈ (AC). Legtöbb hány fok lehet a CBM szög mértéke?

Tegyük fel, hogy adott az AC szakasz és az A pontból kiindul egy az AC-re merőleges f félegyenes. Ezen az f félegyenesen keressük azt a pontot, ahonnan az AC a legnagyobb szögben látszik. Ehhez egy olyan kört kell szerkeszteni, amely átmegy az M és C pontokon és érinti az f félegyenest. Indoklás a

www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__1460693-hogyan-kell-megoldani-ezt-a-matek-feladatot

feladat megoldásánál.

Innen már biztos meg tudod oldani, ha mégsem, szólj.

A második mondat helyesen:

Ezen az f félegyenesen keressük azt a pontot, ahonnan az MC a legnagyobb szögben látszik.

Képzeljük el, hogy megszerkesztettük az említett kört. Az MC szakasz a körnek húrja, tehát a kör középpontja az MC szakasz felezőmerőlegesén van.

A könnyebb számolás miatt tegyük fel, hogy az AC szakasz hossza 4. Ekkor az AM és az MC hossza 2, és az MC felezőmerőlegese 3 egység távolságra van a vele párhuzamos f félegyenestől. Az említett kör sugarának hossza tehát 3. Legyen a kör középpontja O.

Az MOC szög éppen kétszerese az CBM szögnek, hiszen mindkét szög az MC húrhoz tartozik, de az egyik középponti szög, a másik meg kerületi.

Tekintsük most az MCO háromszöget. Mivel MO és CO is sugár, ezért ez egy egyenlő szárú háromszög, aminek az alapja 2 egység, a szárai 3. Ezt az előbbi felezőmerőleges két derékszögű háromszögre vágja, a háromszögek átfogója 3, a kisebbik befogó 1. A felezőmerőleges ugyanakkor az MOC szöget is megfelezi, azaz a derékszögű háromszögben az 1 hosszú befogóval szembeni szög megegyezik az CBM szöggel, amit keresünk.

Mekkora ez a szög? sin x = 1/3 , azaz x = 19,47 a lehetséges legnagyobb szög.