Határozzuk meg az összes olyan a, b, c egész számot, amelyekre teljesül, hogy anégyzet+bnégyzet-8c=6?

Átrendezve a^2+b^2 = 8c+6

A nyolccal való osztás maradékait érdemes megvizsgálni. A jobboldal 8-cal osztva 6-ot ad maradékul.

Egy négyzetszám nyolcas maradéka csak 0, 1 vagy 4 lehet. Ezekből összekombinálhatjuk, hogy mi lehet a maradéka két négyzetszám összegének: 0+0, 0+1, 0+4, 1+1, 1+4 vagy 4+4, azaz 0, 1, 2, 4 vagy 5. A hat nincs közte, a baloldal soha nem leet egyenlő a jobboldallal.

A feladat:

a² + b² - 8c = 6

egyenlet lehetséges megoldásai.

Lehetnek-e egész számok a megoldások?

Jön egy kis formázás

a² + b² = 8c + 6

a² + b² - 2 = 8c + 4

(a² - 1)+ (b² - 1) = 8c + 4

(a + 1)(a - 1) + (b + 1)(b - 1) = 8c + 4

Mindkét oldalt elosztva 4-gyel

[(a + 1)(a - 1)]/4 + [(b + 1)(b - 1)]/4 = 2c + 1

(A) [(a + 1)/2]*[(a - 1)/2] + [(b + 1)/2]*[(b - 1)/2] = 2c + 1

A számlálók - (a + 1), (a - 1), (b + 1), (b - 1) akkor oszthatók 2-vel, ha az értékük páros, ez csak akkor lehetséges, ha a és b páratlan számok.

Tehát írható

a = 2n + 1

b = 2m + 1

ahol n és m tetszőleges egész szám.

Ezeket behelyettesítve az (A) egyenletbe, egyszerűsítés után

(B) n(n + 1) + m(m + 1) = 2c + 1

egyenlet adódik.

A baloldal mindkét tagja 2 egymást követő egész szám szorzata, és mivel a tényezők közül valamelyik páros, a szorzatok értéke is páros, így a két tag összege is páros. A jobb oldal értéke viszont páratlan, tehát c nem lehet egész szám.

Vagyis az a következtetés, hogy nincs egész szám megoldása az egyenletnek.

Természetesen az

a = 2n + 1

b = 2m + 1

és a

(B) egyenletből kapott

c = [n(n + 1) + m(m + 1) - 1]/2 -> nem egész szám

a, b, c számhármas tetszőleges n és m esetén megoldása az eredeti egyenletnek.

******

Miután idáig jutottam, az az ötletem támadt, mi van

a = b = c = x

esetén?

Így az eredeti egyenlet

2x² - 8x = 6

egyszerűsítve, átrendezve

x² - 4x - 3 = 0

A két gyök

x1,2 = 2 ± √7

Meglepetésemre mindkét gyök megoldása az eredeti egyenletnek!

Kíváncsi vagyok, milyen meggondolással lehetne megkeresni a többi gyököt, ha van.

Várom a hozzáértők megoldásait.

DeeDee

*************