Határozzuk meg azokat az x valós számokat, amelyekre a (2x^2+1) / (x-3) és a (3x^2-1) / (3x-5) törtek egyidőben racionálisak. Valaki meg tudja oldani nekem?

Racionális egy szám ha felírható két egész szám hányadosaként. Ekkor persze ugy is felirhato, hogy a legnagyobb kozos osztoja a ket egesznek 1 legyen.

Nyilvan racionalis x-ekre mindket tort racionalis lesz, kerdes az, hogy mely irracionalisakra lesz racionalis.

Mondjuk:

(2x^2+1)/(x-3) = p/q ahol (p,q)=1

és (3x^2-1)/(3x-5) = m/n, ahol (m,n)=1

Az 1. egyenletbol:

2qx^2 + q = px - 3p

2qx^2 - px +q-3p = 0

x = (p +/- (p^2 - 8q(q-3p))^1/2)/(4q)

A masodik egyenletbol:

n(3x^2-1)=(3x-5)m

3nx^2 -3mx +5m - n =0

x=(3m +/-(9m^2 -12n(5m-n))^1/2)/(6n)

Az mar latszik, hogy x nem lehet transzcendens.

(p +/- (p^2 - 8q(q-3p))^1/2)/(4q) = (3 +/-(9m^2 -12n(5m-n))^1/2)/(6n)

3np +/- 3n(p^2 +24 pq -8q^2)^(1/2) = 6q +/-2q(9m^2 - 60mn -12n^2)^(1/2)

3np - 6q = +/- 3n(p^2 +24 pq -8q^2)^(1/2) +/-2q(9m^2 - 60mn -12n^2)^(1/2)

9n^2p^2 -36npq + 36q^2 = 9n^2p^2 + 156 n^2pq - 72n^2q^2 + 36q^2 - 240mnq^2 -48n^2q^2 +/- 12[(p^2 +24 pq -8q^2)(9m^2 - 60mn -12n^2)]^(1/2)

-36npq -156n^2pq +120n^2q^2 +240mnq^2 = +/-12[(p^2 +24 pq -8q^2)(9m^2 - 60mn -12n^2)]^(1/2)

-3npq - 13n^2pq +10n^2q^2 +20mnq^2 = +/- [(p^2 +24 pq -8q^2)(9m^2 - 60mn -12n^2)]^(1/2)

baloldal egesz, tehat a jobboldal is.

(p^2 + 24pq - 8q^2) (9m^2-60mn-12n^2) -nek kell negyzet szamnak lennie.

Ha a szorzotenyezok egyike negyzetszam, akkor viszajutunk ahhoz az esethez, amikor x racionalis,

tehat azok az esetek erdekelnek, amikor egyik szorzotenyezo sem negyetszam, a szorzatuk viszont igen.

Lesz tehat olyan r prim, ami paratlan hatvanyon szerepel mindket szorzotenyezoben. Tovabba minden prim hatvanyanak a paritasa megegyezik a ket tenyezo prim felbontasban.

Gondolom ennyi nem eleg megoldasnak: x racionalis, nem transzcendens es egy megszoritas irracionalisokra,

ha majd veszitek a megoldast, leci ird be ide, kivancsi vagyok mi lesz.