Matek (10. o) tudsz segiteni?

[link]

Jó progi, ez megold mindent :)

külön egyenlővé teszed a bal felét, utána a jobb felét nullával. És megoldod a két egyenletet.

Bocsi, jobb nem jutott eszembe.

Az eredeti egyenlet

4a² + 4a = b² + b

Kiemelések után

(1) 4a(a + 1) = b(b + 1)

Ebből a formából látszik, hogy

(A)

a = 0

b = 0

egy megoldás.

A további megoldásokhoz egy kis átalakítás szükséges.

Az (1) egyenlet más formában

(2) 4 = (a/b)*[(a + 1)/(b + 1)]

ill. más csoportosítással

(3) 4 = [b/(a + 1)]*[(b + 1)/a]

A feladat: a jobboldal szorzótényezőit úgy kell megválasztani, hogy az eredményük 4 legyen.

Mivel 4 osztói: 1, 2, 4, -1, -2, -4

ezekből az

1 - 4

2 - 2

4 - 1

(-1) - (-4)

(-2) - (-2)

(-4) - (-1)

párok felelnek meg ennek a feltételnek.

Ezeket behelyettesítve a (2) és a (3) egyenletek szerinti felbontásba, megkaphatók a megoldások.

A lehetséges esetekből csak a

(B)

b/a = 1

(a + 1)/(b + 1) = 4

---------------------------

(C)

b/(a + 1) = -1

(b + 1)/a = -4

------------------------

(D)

b/(a + 1) = -4

(b + 1)/a = -1

-----------------------

párosítások adnak értékelhető eredményt, mégpedig

(B) esetben

a = -1

b = -1

(C) esetben

a = 0

b = -1

(D) esetben

a = -1

b = 0

értékekkel.

Mindezt a Wolfram nélkül...

Az ellenőrzést a kérdezőre bízom, dolgozzon ő is valamit. :-))

DeeDee

*************

DeeDee: a (2)-nél véletlenül reciprokot írtál, de utána látom, hogy jól számoltál, tehát csak elírás.

Viszont azt nem látom, hogy miért kéne b/a és (b+1)/(a+1) nek vagy (b+1)/a és b/(a+1) nek egésznek lennie.

Az utolsó válaszolónak:

Annak ellenére, hogy a hosszabb válaszaimat nem közvetlen a weblapra írom, hanem szövegszerkesztőben állítom össze, majd onnan másolom be a Válasz keretbe, mégis maradnak benne hibák. Köszi az észrevételt, és újra átnézve a szöveget, találtam még egy hibát:

"A lehetséges esetekből csak a

(B)

b/a = 1

(a + 1)/(b + 1) = 4 ..."

utolsó sora helyesen

(b + 1)/(a + 1) = 4

Ami a kérdésedet illeti: jogos! :-) Sajnálom, de korrekt választ nem tudok rá adni.

Az általam alkalmazott módszerrel viszont csak akkor kaptam egész szám megoldást, ha a szorzat tényezőit - az általad említett hányadosokat - egész számnak, a 4 osztóinak tételeztem fel. A 4-et végtelen sok számpár szorzataként elő lehet állítani, de a példa egész szám megoldásait csak az előbbi feltételezéssel kaptam.

Nem igazán vagyok otthon a számelméletben, nem volt szerencsém a suliban tanulni, így hályogkovács módjára az időközben felszedegetett ismeretmorzsák és a logika felhasználásával tudok valamilyen eredményt kihozni. Biztos nem az általam vázolt gondolatmenet az egyetlen megoldás. Örülnék, ha a számelméletben jártasabb válaszoló elméletileg is segítene a korrekt megoldásban.

DeeDee

**********

most jött ki:

4a^2+4a = b^2+b /+ b - (4a^2+4a)

b = (b^2-4a^2) + 2(b-2a)

b = (b-2a)(b+2a) + 2(b-2a)

b = (b-2a)(b+2a+2)

ez meg pozitív egész számoknál meg nem lehet, mert a b+2a+2 > b, a b-2a meg szintén egész (és nem 0, mert ha az lenne, akkor b és a is 0 lenne, tehát nem lennének pozitívak), tehát (b-2a)(b+2a+2) abszolút értéke nagyobb lesz, mint b, tehát ilyen állat nincs.

jó kis feladat hol adták fel?