Az ABC háromszög BAC és ABC szögének felezői D-ben és E-ben metszik a szemközti oldalt. Mekkora az a/ (2c+b) hányados értéke ha ED felezi az ADC szöget és ACB szög 15°?

1.válaszolónak: a BAC szög jelenti azt a szöget, aminek csúcsa A-nál van, szögszárai pedig az AB és AC félegyenesek.

A feladat megoldása:

A megoldás kulcsa a szögfelezőtétel használata, miszerint a háromszög bármelyik szögfelezője éppen a szomszédos oldalak arányában metszi a szemközti oldalt.

A feladat jelöléseivel ez konkrétan a következőket jelenti:

ABC háromszögben BE szögfelező, ezért AE/EC=AB/BC=c/a.

ADC háromszögben DE szögfelező, ezért AE/EC=AD/DC.

A két egyenletet összehasonlítva kapjuk, hogy AD/DC=c/a.

Másrészről a szinusz-tételt felírva az ABC háromszögre: c/a=sin15°/sin α

Szinusz-tételt az ADC háromszögre felírva: AD/DC=sin 15°/sin (α/2)

Tehát megkaptuk, hogy

sin15°/sin α=c/a=AD/DC=sin 15°/sin (α/2)

Innen:

sin α = sin (α/2)

2sin(α/2)cos(α/2)=sin(α/2) /leoszthatunk a pozitív sin(α/2)-vel

2cos(α/2)=1

cos(α/2)=1/2

α/2=60°

α=120°

Így a háromszög szögei: 120°, 45° és 15°-osak.

A szinusz-tételből adódóan:

a/(2c+b)=sin α /(2sinβ+sinɣ)= sin120°/(2sin15°+sin45°)=√2/2