Egy adott körbe és köré is szabályos hatszöget rajzolunk. Állapítsd meg a két hatszög területének arányát! Valaki tud segíteni?

a kör átmérője mindkét hatszög esetén valami jól leírható távolság lesz, amit könnyű kifejezni a hatszögek lapjainak hosszával, ebből meg kijön, hogy a két hatszög lapjai hogy aránylanak egymással (tehát ha x a kisebbik hatszög lapjainak hossza, y meg a nagyobbiké, akkor a kör átmérőjét ki tudod fejezni egyrészt x, másrészt y segítségével is, a két kifejezés egyenlő lesz, megkaptad ebből x és y arányát).

Ebből meg már könnyen kijön, hogy a területek hogyan aránylanak.

Legyen

R - a kör sugara

a1 - a beírt hatszög oldala

a2 - a külső hatszög oldala

T1 - a belső hatszög területe

T2 - a külső hatszög területe

Q = T2/T1 = ?

A hatszög területe értelmezhető 6 egyenlő oldalú háromszög területének összegeként.

ha

t1 - a belső

t2 - a külső

hatszöget alkotó háromszögek egyikének területe, akkor

T1 = 6*t1

T2 = 6*t2

Q = T2/T1

Q = t2/t1

Mivel az egyenlő oldalú háromszög területe az oldal négyzetével arányos, vagyis

t1 = k*a1²

t2 = k*a2²

ezért

Q = t2/t1 = a2²/a1²

Q = (a2/a1)²

Tehát a területek arányához csak az oldalak szükségesek.

A továbbiakhoz kell egy kis ábra. Húzz egy körívet és a kör középpontjából kiindulva 2 félegyenest , amik 60°-t zárnak be egymással. A két félegyenes és a körív metszéspontjait összekötve kialakul a belső kis háromszög, az összekötő egyenessel párhuzamos érintő és a félegyenesek metszéspontjai megadják a külső háromszög oldalát.

Mit tudunk a két háromszögről?

A belső háromszög minden oldala R, ezért

a1 = R

A külső háromszögnek a magassága R, ebből lehet meghatározni az oldalát.

Mivel az egyenlő oldalú háromszög magassága

m = (a√3)/2,

esetünkben

R = (a2*√3)/2

amiből

a2 = 2R/√3

Miután megvan a két keresett oldal, az arány

Q = (a2/a1)² = [(2R/√3)/R]² = (2/√3)²

Q = 4/3

======

vagyis a a kör köré és a körbe rajzolt hatszögek területének aránya: 4/3

DeeDee

***********