Hogy kell megoldani?

(a1+a1+(n-1)*d)

nem akarok beleszólni de ezt még osztani kell 2-vel a képlet alapján

Nekem nem sikerült kapásból meglátni a képletből a megoldást, ezért megpróbáltam a matek nyelvén és eszközeivel megválaszolni a kérdést.

²

Adott

Sn/n² = 5

d = ?

A kiinduló képlet az adott feltételbe történt behelyettesítés és rendezés után előálló

(1) 2*a1 + (n - 1)d = 10n

összefüggés

Az (1) egyenletet n-re megoldva

n = (2*a1 - d)/(10 - d)

adódik

mivel n csak egész szám lehet, a fenti tört esetén ez csak akkor lehet, ha

2*a1 = 10

vagyis

a1 = 5

=====

Az (1) egyenletet d-re megoldva

d = (10n - 2*a1)/(n - 1)

adódik

Az a1 értékét behelyettesítve

d = (10n - 2*5)/(n - 1) = 10(n - 1)/(n - 1)

így

d = 10

=====

Ezek után a sorozat

5, 15, 25, 35, 45...

Ellenőrizhető, hogy n tag összege n²-tel egyenlő.

DeeDee

*************

Kedves Kérdező, van egy kis szépséghibája a megoldásodnak.

Nem egy sorozatot, hanem csak egy sorozat első 3 tagját vizsgáltad. A sorozat itt nem ér véget.

Ha pl. az a1 = 14, d = 1 sorozat első 4 tagját veszed - 14,15,16,17 -, már nem érvényes az Sn = 5*n² feltétel.

DeeDee

**********

Kedves Kérdező!

Értem a gondolat menetedet, ahogy leírtad az tökéletesen igaz, csak nem felel meg a feladat feltételének.

Nem az volt a feltétel, hogy S3/n² = 5 vagy S5/n² = 5, hanem Sn/n² = 5! Ha előállítod valahogy egy sorozat néhány elemét - meghatározod az első tagját (a1) és a differenciát (d) - akkor ezen jellemzőkkel bíró sorozat bármennyi (n) elemét véve az összegüknek ki kell elégíteni a megadott feltételt! Ez a feladat. Az általad kreált sorozatok nem teljesítik azt a kikötést.

Vegyük példának a 21-23-25-27-29 számokat.

Öt elem esetén stimmel, de mi van

n = 6 esetén?

a1 = 21

d = 2

Ennek a sorozatnak a 6. tagja

a6 = 31

S6 = [(21 + 31)/2]*6 = 156

holott a feltétel szerint

S8 = 5*36 = 180 kellene legyen.

Teljesen általánosan megoldva a feladatot kiderül, hogy mi a jellemzője a megadott feltételnek megfelelő sorozatoknak.

Legyen a feltétel

Sn = k*n², ahol k≠0 tetszőleges szám

d = ?

Az összegképletből indulva

Sn = [(a1 + an)/2]*n = k*n²

Egyszerűsítés után

a1 + an = 2*k*n

az

an = a1 + (n - 1)d

behelyettesítése után

(1) 2a1 + (n - 1)d = 2*k*n

Az (1)-t n-re rendezve

n = (2*a1 - d)/(2k - d)

A tört értéke akkor lehet egész szám, ha

2*a1 = 2k

ill

a1 = k

=====

Az (1) egyenletet d-re rendezve

d =2(k*n - a1)/(n - 1)

a1 értékét behelyettesítve, k-t kiemelve

d = 2k(n - 1)/(n - 1)

vagyis

d = 2k

======

Ezzel megvan a sorozatot meghatározó 2 érték, amiből egyértelmű, hogy a feltételnek MINDEN olyan sorozat megfelel, melynél

d = 2*a1

ill.

d/a1 = 2

=======

Sem a 'd', sem az 'a1' nincs meghatározva, de a hányadosuk kötött érték!

A sorozat általános tagja

an = a1 + (n - 1)d

a1 = k és d = 2k

behelyettesítése, majd összevonás után

an = k(2n - 1)

==========

Mivel a zárójelben levő érték mindig páratlan, a sorozatok tagjai a páratlan számok k-szorosai.

A sorozat általános formája

a1 = k

d = 2k

A = k, 3k, 5k, 7k, 9k ...

k = 1 esetén

a1 = 1

d = 2

A = 1, 3, 5, 7, 9 ...

az összege pedig a feltétel szerint

Sn = n²

ami annak a tételnek az igazolása, miszerint az első n páratlan szám összege = n².

Az adott feladatban

k = 5

a1 = 5

d = 10

A = 5, 15, 25, 35, 45, ...

S(3) = 5*n² = 5*9 = 45

S(5) = 5*25 = 125

S(10) = 5*100 = 500

stb.

Akárhány elemet veszel, az összegük kielégíti a feltételt.

Az a1, an, d ismeretében algebrailag is igazolható az Sn = k*n² egyenlőség.

Ha van kedved, kipróbálhatod, milyen sorozat adódik, ha az n² helyére más, n-től függő függvényt írsz.:-)

DeeDee

**********