Főiskolai matematika feladat megoldásában tudsz segíteni?

konvergencia: kiszámolod a határértékét. Ha van véges határértéke, konvergens.

küszöbindex: |an-A|<e képletet használd, ahol az an maga az egyenlet, az A a határérték, az e az epszilon (nálad E). Ha egyenlőség jelet raksz a < helyére, akkor megkapod a küszöbszámot, vagyis azt, hogy melyik az a szám, amely pont az epszilon sugarú határon van. Na a sorozatnak az ezt követő eleme a küszöbindex, szóval ha például 5.3 jött ki, és mivel sorozatról van szó, szóval csak természetes számok játszanak szerepet mint tagok, ezért 6-ot írsz.

monotonitás. Na várj, kiment a képlet a fejemből, de megnézem neked.

Jól emlékeztem, de ne voltam benne biztos.

(an+1)/an

ha az eredményed

>=1 monoton nő

=<1 monoton csökken.

furfangos képlet, mert itt nem tudom jelölni, de az an+1-nél az n+1 alsó indexben van, vagyis az n helyett n+1-et írsz, vagyis nálad a számláló így nézne ki:

3(n+1)-2

a nevező így:

5(n+1)+1

Korlátosságra nem kell külön képlet (mint a konvrgenciára se), mivel ha egy sorozat korlátos, és van határértéke, akkor konvergens.

korlátosság:

A sorozat első eleme (vagyis n helyére beírod az egyet és kiszámolod úgy, mert ugye így megy a sorozat: 1,2,3,4) egy korlát. Az, hogy felső, vagy alsó a monotonitástól függ. Ha monoton csökken, akkor az első elem egy felső korlát, mivel annál már csak kisebb számok lesznek. Ha nő, akkor alsó korlát.

Ha csökken, akkor az alsó korlát a határérték, ha nő, akkor a felső korlát a határérték.

Ez a korlátosság, és ez egyértelműen választ is ad a konvergenciára ugyebár (ahogy már írtam: konvergens sorozat korlátos, és van VÉGES!!! (szóval ha végtelen akkor divergens) határértéke!

Remélem nem írtam nagy hülyeségeket, és tudtam adni hozzá egy löketet.

Annyit elárulok, hogy a határértéke 3/5 lesz, az első eleme 1/6, ebből már következik az is, hogy monoton nő (mert 1/6-tól megy felfelé a 3/5-höz közelíteni), magyarul a felső korlát 3/5, alsó korlát 1/6, szig. mon. nő.

A küszöbszámot ezzel számold ki:

(3n-2)/(5n+1)-3/5 < 1/1000

1/1000=epszilon=10^-3

a monotonitásba behelyettesítve:

(3(n+1)-2)/(5(n+1)+1)/(3n-2)/(5n+1)

ez egy cuki emeletes tört, de a reciprokával szorozva, hogy könyebben tudj vele számolni:

(3(n+1)-2)/(5(n+1)+1)*(5n+1)/(3n-2)

itt nem fogsz konkrét számot kapni, mert van benne ismeretlen (az n), de miután szebb alakra hoztad, következtethetsz.

Például kijön ez (ez egy másik feladat, nem a tiéd) :

-11/(3n+2)*(3n-1)

Itt láthatod, hogy a számláló mínusz. A nevező csak plusz lehet, mert ha az n-ek helyére helyettesítesz 1,2,3,4,5... számot, akkor mindig pozitív eredményt kapsz. Magyarul:

-/+ mínusz osztva pluszal az mínusz, ergo kisebb mint nula, vagyis monoton csökken ebben az esetben.

jó, levezetem

monotonitás (képletbe eleve behelyettesítve, reciprokkal szorozva):

(3(n+1)-2)/(5(n+1)+1)*(5n+1)/(3n-2)=

az első törtet átalakítom:

(3n+1)/(5n+6)*(5n+1)/(3n-2)=

a két törtet összeszorzom:

((3n+1)*(5n+1))/((5n+6)*(3n-2))

Látom, hogy a számláló biztos pozitív (mert összeszorozva pluszok lesznek), ezért megnézem a nevezőt:

15n^2+8n-12

beírva egyet

15*1*1+8*1-12

vagyis:

15+8-12,

pozitív lesz, ergo

+/+, vagyis szig. mon. nő

konvergencia (lim n tart a végtelenbe, de ezt nem írom most a lim alá, mert komplikált lenne itt gyakorin):

lim (3n-2)/(5n+1)

alul felül leosztom a nevező legmagasabb fokszámú n-jével (vagyis szimplán n-el)

(3-2/n)/(5+1/n)

az 1/n a 0-hoz tart, mivel ha n helyére beírod az 1,2,3,4,5 stb számokat, akkor mindig kisebb számot kapsz, egyre jobban megközelíti az érték a nullát. Ugyanez a 2/n-nél.

magyarul (3+0)/(5+0)=3/5

ne felejtsd el minden lépésnél kiírni hogy lim n tart a végtelenbe, kivéve a végeredménynél!!!

ebből megtudjuk, hogy mivel monoton nő, és közelít az 3/5-hoz, hogy az 3/5 felső korlátja a sorozatnak.

nézzük meg most a korlátosságot:

írjuk be az eredeti egyenletbe n helyére az 1-et.

3*1-2/5*1+1=1/6

alsó korlátja az 1/6.

konvergencia: Mivel korlátos, és van véges határértéke, ezért konvergens.

monotonitás/korlátosság/konvergencia megvan

küszöbindex:

|(3n-2)/(5n+1)-3/5|<1/1000

Hagyjuk el az abszolútérték jelet, mert nem lényeges igazából, csak az előjelnél fontos a végén, vagyis mindenképpen pozitív lesz, mert ugye 1,2,3,4,5...

közös nevező, majd egybeírás baloldalon:

(5(3n-2)-3(5n+1))/(5(5n+1))<1/1000

bontsuk fel a zárójeleket, majd vonjuk szebb alakra:

-23/(15n+5)<1/1000

szorozzuk meg mindkét oldalt 1000-el, és 15n+5-el

-23000<15n+5

mindkét oldalból levonok 5-öt

-23005<15n

leosztva 15-el mindkét oldalt:

-1533,6<n

mivel abszolútérték, ezért 1533,6<n

az ezt követő elem: 1534, vagyis a küszöbindex.

1/6<an<3/5

ezt még biggyeszd oda a korlátossághoz.

helyesbítve:

1/6<=an<3/5

mert ugye a 3/5-öt csak közelíti, így nem lehet egyenlő, de az első elemmel lehet egyenlő (ugye ha n helyére 1-et írunk).