Van e olyan szám, amelynek számjegyeit fordított sorrendben felírva a szám háromszorosát kapjuk?

#4

Tényleg nincs. Egy nem túl bonyolult program meg tudja nézni az összes szóba jöhető számot

#7. Mert meg lehet indokolni, hogy miért nincs ilyen szám.

Segítségül hívtam a ChatGPT-t, egész jónak tűnik:

"Vizsgáljuk meg, hogy létezhet-e olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyeit felírva az adott szám háromszorosát kapjuk.

1. Jelölések és egyenlet felállítása

Legyen a keresett háromjegyű szám:

𝑥

=

100

𝑎

+

10

𝑏

+

𝑐

x=100a+10b+c

ahol

𝑎

,

𝑏

,

𝑐

a,b,c a számjegyek, és

𝑎

≠

0

a



=0, mivel háromjegyű számról van szó.

Feltételeink szerint a szám háromszorosa a számjegyekből újraszervezett számot kell adjon, azaz:

3

𝑥

=

100

𝑐

+

10

𝑏

+

𝑎

3x=100c+10b+a

2. Egyenlet átrendezése

Helyettesítsük be

𝑥

x-et:

3

(

100

𝑎

+

10

𝑏

+

𝑐

)

=

100

𝑐

+

10

𝑏

+

𝑎

3(100a+10b+c)=100c+10b+a

Bontsuk fel:

300

𝑎

+

30

𝑏

+

3

𝑐

=

100

𝑐

+

10

𝑏

+

𝑎

300a+30b+3c=100c+10b+a

Vonjuk ki mindkét oldalból

𝑎

a és

10

𝑏

10b:

299

𝑎

+

20

𝑏

−

97

𝑐

=

0

299a+20b−97c=0

3. Egész számok vizsgálata

Az egyenletet átrendezve:

299

𝑎

+

20

𝑏

=

97

𝑐

299a+20b=97c

Mivel

𝑎

,

𝑏

,

𝑐

a,b,c egyjegyű számok (

1

≤

𝑎

≤

9

1≤a≤9,

0

≤

𝑏

,

𝑐

≤

9

0≤b,c≤9), megvizsgáljuk, hogy lehet-e olyan

𝑎

,

𝑏

,

𝑐

a,b,c értékkombináció, amely kielégíti az egyenletet.

299

𝑎

299a mindig osztható 299-cel, tehát 299 egyik többszöröse.

97

𝑐

97c mindig osztható 97-tel, tehát 97 egyik többszöröse.

Az egyenlet bal oldala 299-nek többszöröse, míg a jobb oldala 97 többszöröse.

A 299 és 97 prímek és nem osztják egymást, így az egyetlen megoldás, ha mindkét oldal nulla lenne. De mivel

𝑎

≠

0

a



=0, ilyen megoldás nem létezhet.

4. Következtetés

Mivel az egyenlet nem teljesülhet a megadott feltételek mellett, nem létezik olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyeit felírva az adott szám háromszorosát kapnánk."

Bocs, formailag ez kicsit elcsúszott, újra:

"Vizsgáljuk meg, hogy létezhet-e olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyeit felírva az adott szám háromszorosát kapjuk.

1. Jelölések és egyenlet felállítása

Legyen a keresett háromjegyű szám: x=100a+10b+c,

ahol a,b,c a számjegyek, és 𝑎≠0, mivel háromjegyű számról van szó.

Feltételeink szerint a szám háromszorosa a számjegyekből újraszervezett számot kell adjon, azaz: 3x=100c+10b+a

2. Egyenlet átrendezése

Helyettesítsük be x-et: 3(100a+10b+c)=100c+10b+a

Bontsuk fel: 300a+30b+3c=100c+10b+a

Vonjuk ki mindkét oldalból a és 10b: 299a+20b−97c=0

3. Egész számok vizsgálata

Az egyenletet átrendezve: 299a+20b=97c

Mivel a,b,c egyjegyű számok (1≤a≤9, 0≤b,c≤9), megvizsgáljuk, hogy lehet-e olyan a,b,c értékkombináció, amely kielégíti az egyenletet.

299a mindig osztható 299-cel, tehát 299 egyik többszöröse.

97c mindig osztható 97-tel, tehát 97 egyik többszöröse.

Az egyenlet bal oldala 299-nek többszöröse, míg a jobb oldala 97 többszöröse.

A 299 és 97 prímek és nem osztják egymást, így az egyetlen megoldás, ha mindkét oldal nulla lenne. De mivel 𝑎≠0, ilyen megoldás nem létezhet.

4. Következtetés

Mivel az egyenlet nem teljesülhet a megadott feltételek mellett, nem létezik olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyeit felírva az adott szám háromszorosát kapnánk."

#8, gyakorlatilag a CharGPT kb. manuálisan végignézte az összes lehetőséget...

Itt a jó megoldás:

Legyen a háromjegyű szám abc, ennek fordítottja cba, ami a feladat szerint az abc háromszorosa, emiatt a cba szám osztható 3-mal.

A 3-mal oszthatóság szabálya miatt így az abc szám is osztható kell, hogy legyen 3-mal. Viszont ha egy 3-mal osztható számot 3-mal szorzunk, akkor egy 9-cel osztható számot kell kapnunk, tehát a cba szám osztható 9-cel. Viszont ez csak úgy lehet osztható 9-cel, hogy az eredmény 3-jegyű legyen, hogyha az első számjegye 9, ekkor az eredeti első számjegye csak 1 lehet.

Tehát 1b9 és 9b1 alakban keressük a számokat. Itt már ránézésre is látható, hogy ha az első számot megszorozzuk 3-mal, akkor semmi szín alatt nem kezdődhet az eredmény 9-cel. Tehát nincs megfelelő háromjegyű szám.