Adottak az A=7a+12b és B=12a+17b számok, ahol a,b egész számok. Hogyan bizonyítsam, hogy A akkor és csakis akkor osztható 25-tel, ha B is osztható 25-tel?

A=7(a+b)+5b nyilván akkor és csak akkor osztható 5-el, ha a+b osztható 5-el. Legyen tehát a+b=5k. A=35k+5b=5(7k+b) nyilván akkor és csak akkor osztató 25-el, ha 7k+b osztható 5-el.

B=12(a+b)+5b ugyanígy akkor és csak akkor osztható 5-el, ha a+b osztható 5-el. A korábban bevezetett jelöléssel a+b=5k, vagyis B=60k+5b=5(12k+b). Ez nyilván akkor és csak akkor lesz 25-el osztható, ha 12k+b osztható 5-el. De nyilván 12k+b akkor és csak akkor osztható 5-el, ha 12k+b-5k is osztható 5-el, vagyis 7k+b osztható 5-el.

Így tehát bebizonyítottuk, amit akartunk.

Az ilyen feladatoknál úgy érdemes gondolkodni, hogy ha a két szám összege/különbsége is osztható ugyanazzal számmal, mint az első, akkor a másik is osztható kell, hogy legyen. Ha egy (0-tól különböző) egésszel szorzunk, akkor az arra az osztóra oszthatóságot nem befolyásolja (például ha megszorzod 3-mal a 25-tel osztható számot, akkor az 25-tel osztható marad). Valamint, ha az osztóval relatív prímmel szorzod a számot, és az osztható egy számmal, akkor az eredeti is (például ha egy számot 8-cal szorzol, és a kapott szám osztható 25-tel, akkor az eredeti is biztosan osztható vele). Ennek megfelelően szorozzuk az A számot 12-vel, a B számot 7-tel (mindkettő relatív prím a 25-höz), ekkor ezeket kapjuk: 84a+144b és 84a+109b. Ez azért volt jó nekünk, mert ha most a két számot kivonjuk egymásból (nagyobból a kisebbet), akkor 25b-t kapunk eredményül, ami biztosan osztható 25-tel.

A fentiek értelmében így a B szám is szükségszerűen osztható 25-tel, ha az A is.

Ha pedig az A szám nem osztható 25-tel, akkor a B szám sem lehet osztható, mert ugyanarra jutunk, mint az előbb, vagyis a különbség osztható 25-tel; mert ha osztható lenne B 25-tel, akkor a különbség miatt A is osztható kellene, hogy legyen.

Ezzel beláttuk, hogy az állítás igaz.