Bizonyítsa be, hogy 9 | 4^n + 15n − 1-et, ha n ∈ N. Valaki tud segíteni?

4^n + 15n - 1 osztható 9-el.

Ellenőrzés:

n = 1: 4 + 15 - 1 = 18, osztható

n = 2 = 16 + 30 - 1 = 45, osztható.

Feltételezzük, hogy 4^k + 15k - 1 osztható 9-el

Következtetés: bizonyítsuk be, hogy 4^(k + 1) + 15(k + 1) -1 is osztható 9-el.

Bizonyítás:

4^(k + 1) + 15(k + 1) - 1 =

= 4 * 4^k + 15k - 1 + 15 =

= 3 * 4^k + 4^k + 15k - 1 + 15 =

= (4^k + 15k - 1) + (3 * 4^k + 15) =

= (4^k + 15k - 1) + (3 * 4^k - 3 + 18) =

= (4^k + 15k - 1) + 3(4^k - 1) + 18

....

Most feltételezzük, hogy

4^k - 1 osztható hárommal, mert ha ez meg van, akkor

(4^k + 15k - 1), 3 * (4^k - 1), 18 összege is osztható hárommal, mivel feltételeztük, hogy (4^k + 15k - 1) osztható 9-el, és ha beválik, hogy (4^k - 1) osztható 3-al, akkor 3(4^n - 1) osztható 9-el, 18 pedig tudjuk, hogy osztható 9-el. Három kilenccel osztható szám összege, pedig szintén osztható 9-el.

Ezért bizonyítsuk, hogy 4^n - 1 osztható 3-al

Ellenőrzés: n = 0: 4⁰ - 1 = 0 osztható 3-al

Ellenőrzés: n = 1: 4¹ - 1 = 3 osztható 3-al

Feltételezzük, hogy 4^k - 1 osztható 3-al

Következtetés: 4^(k + 1) - 1 osztható 3-al

Bizonyítás:

4^(k + 1) - 1 = 4 * 4^k - 1 = 3 * 4^k + 4^k - 1 =

= 3 * 4^k + (4^k - 1)

3 * valami osztható hárommal, 4^k - 1 is osztható hárommal (tudjuk a feltételezésből) => a kettőnek az összege is osztható hárommal => 4^n - 1 osztható 3-al bármely n természetessel.

=>

Vissza akkor az eredeti feladatra:

(4^k + 15k - 1) + 3 (4^k - 1) + 18 osztható 9-el (az előbb elmondtuk, hogy miért) => bármely n-re igaz az eredeti feltevés.

0. 4^n + 15n − 1 ≡ 0 (mod 9)

1. 4^n ≡ 1 - 15n (mod 9) ;átrendezem az egyenletet hogy később kiejthessem az exponenciális tagot

2. 4^(n+1) + 15(n+1) − 1 ≡ 0 (mod 9) ;ha n-re igaz n+1-re is igaz lesz

3. 4*4^n + 15n + 14 ≡ 0 (mod 9) ;felbontom a zárójeleket

4. 4*(1 - 15n) + 15n + 14 ≡ 0 (mod 9) ;kiejtem az exponenciális tagot az 1. felhasználásával

5. 18 - 45n ≡ 0 (mod 9) ;18 és 45 is osztható 9-el, innen már könnyű belátni az azonosságot

Az nem lenne jó, ha mondjuk kiemelnénk 9-et, aztán úgy alakítanánk a zárójelben lévő kifejezést, hogy az egyes tagok biztosan természetes számok legyenek?

Pl.:

4^n + 15n − 1 = 9 * [(4^n)/9 + 15n/9 − 1/9] , aztán ezt az alakot kéne tovább alakítani.

Nos, valójában nem igazán csináltam még ilyen feladatot, de ha kérnék tőlem, hogy csináljam meg, akkor valahogy így próbálnám megoldani.