Ezt a két feladatot ugyanúgy kell felírni? (matek, tovább mögött a két feladat)

1. feladat

Adott egy mértani sor 3 tagja

m1; m2; m3

ezek összege

S3 = 26

Egy számtani sor tagjai

a1 = m1 + 1

a2 = m2 + 6

a3 = m3 + 3

Három egymást követő tag esetén célszerű a második taghoz viszonyítva felírni a tagokat

így a mértani sor

m1 = m2/q

m2 = m2

m3 = m2*q

ezért a számtani sor így írható

a1 = m2/q + 1

a2 = m2 + 6

a3 = m2*q + 3

A továbbiakban két összefüggést lehet használni:

- A számtani sor bármelyik, n>=2 sorszámú tagja egyenlő a tagot előző és követő tagok számtani közepével. (a1; a2; a3 esetén a2 = (a1 + a3)/2 vagy 2*a2 = a1 + a3)

- A mértani sor összegképlete

Az első összefüggést alkalmazva

2(m2 + 6) = (m2/q + 1) + (m2*q + 3)

Beszorzás, összevonás, rendezés után

(A) 0 = m2*q² - q(8 + 2*m2) + m2

egyenlet adódik

² ³

A két ismeretlenhez kell még egy egyenlet, ezt a mértani sor összegképletéből vesszük

Három tag esetén

S(3) = m1*(q³ - 1)/(q - 1) = 26

Egy kis átalakítás nevezetes azonossággal

q³ - 1 = (q - 1)(q² + q + 1)

Behelyettesítve az összegképletbe és egyszerűsítve (q≠1)

26 = m1*(q² + q + 1)

m1 = m2/q helyettesítéssel

26 = (m2/q) * (q² + q + 1)

Közös nevező, összevonás, rendezés után

(B) 0 = m2*q² - q(26 - m2) + m2

egyenlet áll elő

Van két egyenletünk (A) és (B)

0 = m2*q² - q(8 + 2*m2) + m2

0 = m2*q² - q(26 - m2) + m2

Kivonva őket egymásból, majd rendezve a maradékot

3*m2 = 18

vagyis a mértani sor 2. tagja

m2 = 6

A sor kvóciensét pl a (B) egyenletből az m2 értékének visszahelyettesítésével kapott egyenlettel lehet meghatározni:

0 = 6q² - 20q + 6

A két gyök

q1 = 3

q2 = 1/3

Így a két sor

Mértani q = 3 (q = 1/3) esetén

m1 = 2 (18)

m2 = 6 (6)

m3 = 18 (2)

A tagok összege

S(3) = 26

A számtani

a1 = m1 + 1 = 3 (19)

a2 = m2 + 6 = 12 (12)

a3 = m3 + 3 = 21 (5)

******************************************************

2. feladat

Adott egy számtani sor

a1; a2; a3

egy mértani sor elemei

m1 = a1 + 3

m2 = a2 + 2

m3 = a3 + 7

ezek összege

S(3) = 222

Itt is célszerű a 2. taghoz viszonyítani, így

a1 = a2 - d

a2 = a2

a3 = a2 + d

és a mértani sor

m1 = a2 - d + 3

m2 = a2 + 2

m3 = a2 + d + 7

Az összeg ismeretében írható

m1 + m2 + m3 = 222

(a2 - d + 3) + (a2 + 2) + (a2 + d + 7) = 222

a 'd' kiesik, marad

3*a2 = 210

a2 = 70

visszahelyettesítve a mértani sor tagjaiba

m1 = 73 - d

m2 = 72

m3 = 77 + d

Felhasználva, hogy a mértani sor minden, n>=2 tagja egyenlő az azt előző és követő tagok mértani közepével (m2² = m1*m3)

72² = (73 - d)*(77 + d)

Szorzás, összevonás, rendezés után

0 = d² + 4d - 437

egyenlet adódik, melynek gyökei

d1 = 19

d2 = -23

A számtani sor tagjai d = 19 (d = -23) esetén

a1 = 51 (93)

a2 = 70 (70)

a3 = 89 (47)

A mértani soré

m1 = a1 + 3 = 54 (93)

m2 = a2 + 2 = 72 (72)

m3 = a3 + 7 = 96 (54)

(q1 = 4/3; q2 = 3/4)

Az összegük

S(3) = 222

**************************************************

A kérdezőnek: mint látható, nem ugyanazon séma szerint lehet megoldani a két feladatot, mindig az adott feltételeknek megfelelően kell megválasztani a módszert.

DeeDee

************