Egy pozitív egész számnak, ha nincs négyzetszám osztója, de van két olyan prím osztója, melyek különbsége 2, igazoljuk, hogy a szám pozitív osztóinak összege osztható 8-cal. Hogyan?

"Egy pozitív egész számnak, ha nincs négyzetszám osztója..."

Az 1 négyzetszám. Az 1 minden pozitív egész számnak osztója. Szerintem így nem megoldható a feladatod.

Ha a szám = (n-1)(n+1), ahol a két tényező prím, akkor az osztói összege = 1+(n-1)+(n+1)+n^2-1=n^2+2n=n(n+2). És könnyű belátni, hogy n csak páros lehet. Ezért ilyen számok osztóinak összege osztható 8-cal.

Ha a fenti (n-1)(n+1) típusú számokat megszorozzuk még egy prímmel, akkor megmaradnak az eredeti osztói (aminek összege osztható 8-cal) és hozzájönnek még az eredeti osztók p szeresei. Amiknek összege szintén osztható marad 8-cal.

Ilyen módon előállítható az összes szám, ami a feladatban szerepel.

#3 folytatás.

És azért kell a "nincs négyzetszám osztója" feltétel, mert ha kétszer szorozzuk ugyanazzal a p-vel, akkor az p és 1*p is létrejön az osztók között, ami ugyanaz. Vagyis az osztók összege p-vel kevesebb lesz, mint amit a 3-as kommentben vártunk. De, ha az új p nem egyenlő semelyik korábbi prímtényezővel, akkor az osztók #3-ban említett második csoportjának egyik tagja sem lesz azonos az első csoport bármely tagjával. Emiatt a két csoport összege összeadható.

#1

Igazad van, de csak annyit kell a feladaton módosítani, hogy "nincs 1-től különböző négyzetszám osztója".

És akkor a feladat egyből értelmessé és érdekessé válik. :-)