Az első feladat így szól: Számítsd ki: 2 a nulladik hatványon + 2 az első hatványon + 2 a második hatványon + . + 2 a 2010-edik hatványon. Másik feladat: 1+2+5+6+9+10+. +601+602 Melyik a 100. és a 91. tag?

1. feladat

Ez egy olyan sorozat, ahol a tagok mindig egymás kétszeresei.

Tudjuk, hogy a 2^2010 (2 a 2010. hatványon a 2111. tag mivel volt 2^0), illetve a sorozatunk első tagja 1 (2^0)

Tehát a sorozatunk betűkkel leírva íg nézne ki.

1=x1(sorozat első tagja)

2=y(ennyivel szorozgatjuk a számokat)

2011=n (ennyi eleme van a sorozatnak)

ö=sorozat összege ezt keressük

ö= x1 + x1×y + x1×x^2 ... + x1×y^(n-1)/beszorzunk y-nal/

ö×y = x1×y + x1×y^2 + x1×y^3 ... + x1×y^n /a két egyenletet kivonjuk egymásból/

ö×y-ö = x1×y^n - x1 /behelyettesítek végre :D/

2ö - ö = 1×2^2011 - 1

ö = 2^2011-1

Ezt én ki nem számolom. De az összegük ennyi, remélem érthető volt.

2. feladat

Azt kell meglátni, hogy a páratlan tagok által alkotott számok, egy olyan sorozatot adnak ahol az egymást követő tagok különbsége 4.

Ezért az első tagtól (1) számolva ebben a sorozatban a fő sorozat 91. tagja csak a 46. tag.

Tehát ha az első taghoz 45-ször hozzáadom a különbséget (4) akkor megkapom ezt a tagot. 1 + 45*4 = 181 (91. tag)

A páros tagok is egy hasonló sorozatot alkotnak az első taghoz (2) képest a fő sorozat 100. tagja ennek a sorozatnak az 50. tagja. Tehát hasonló módszerrel kiszámolható: 2 + 50×4 = 202

Remélem ez is érthető volt.

megpróbálom még egyszer leírni

Ö = 2^0 + 2^1 + 2^2 ... 2^2010 (ez a feladat keressük ennek a sorozatnak az összegét, most beszorzok kettővel)

2Ö = 2^1 + 2^2 + 2^3 ... 2^2011 (láthatod a kettővel valószorzás miatt a baloldalon 2Ö lett, a jobb oldalon mindegyik hatvány kitevő eggyel nőtt, mivel tudom az első egyenletből az Ö értékét kivonom egy másból a két egyenletet nagyjából annyi, hogy lehúzogatom, azokat a tagokat, ami mindkét egyenletbe szerepel, ami pedig nem azt negatív előjellel leírom, mivel kivontam őket egymásból)

2Ö - Ö = (2^1 - 2^1) + (2^2 - 2^2) + (2^3 - 2^3) ... (2^2010 - 2^2010) + 2^2011 - 2^0

(mint látod, szinte minden tagnak van párja így ezek a tagok 0-t adnak, azonban az első egyenletben nem volt 2^2011 tag ezért az megmarad, illetve a második egyenletben a 2^0-nak nincs párja ezért került negatív előjellel az egyenletbe) Marad tehát:

Ö = 2^2011 - 2^0

Akár ki ik számolhatod de felesleges, csak a 2^0-t írd át:

Ö = 2^2011 - 1