Segít légyszi valaki? 1. Az ABC háromszög AB oldalát B-n túl 2AB-vel, BC oldalát C-n túl 2BC-vel AC oldalát A-n túl 2AC-vel meghosszabbítjuk. Így kapjuk a C', A', B' pontokat. Hányszorosa az A'B'C' háromszög területe az ABC háromszög területének?

Nekem egy olyan megoldásom van, hogy ha húzol a k végpontjából az a-ra egy merőlegest, akkor megjelenik egy 30;60;90 fokos derékszögű háromszög, aminek az oldalait h-tól függően fel tudod írni. Mellette lesz egy másik kicsi derékszögű háromszög is, annak a másik befogóját fel tudod írni (az egyik h/2 hosszú), így pedig a kicsi átfogóját is meg tudod adni Pitagorasz tételével.

Ha ez megvan, akkor nézzük azt a háromszöget, amit eredetileg k levág, ebben fel tudjuk írni a koszinusztételt (ha tanultál olyat):

[link]

A bal oldalon a négyzetre emelés és a gyökvonás kiesik, ezért írtam egyszerűbben.

Azt a megoldást adja, hogy h=4a/gyök(3) - 1. A kérdés már csak az, hogy ez átalakítható-e az állításban megadott alakra.

De szinte biztos, hogy van ennél szebb megoldás is, ami rögtön ezt fogja kiadni, és ami csak geometriai lépésekre hagyatkozik. A semminél azért több ez is. És azt is biztosra veszem, hogy ha van ilyen megoldás, akkor az az első lépés, amit az elején megadtam.