Sin(x) 0-tol 2pi-ig integrálja miért 0? Ha a fuggvenyt megnézzük akkor 0-tol pi-ig van területe, majd pi-tol 2pi-ig is van területe, igaz negatív értékű, de ha jól tudom annak az abszolút értéket kell venni?

-Nem tudom, honnan szedte a wikipedia honlap a negatív területet, ilyen egy matematika könyvben sem létezik.

-Abszolútérték függvény nem Riemann integrálható. Ha az integrandus abszolútértéket tartalmaz, akkor az abszolútérték definícióját felhasználva az integrandus transzformálandó.

-Vagyis a terület minden esetben meghatározható integrálással. Ilyen értelemben a "már ha lehetséges" mellékmondat felesleges (azt sugallja, hogy létezik olyan terület amely nem határozható meg integrálással).

-Vagy esetleg nem lehet, hogy te vagy teljes képzavarban?

Tessék, itt egy másik bizonyíték, ami az ELTE-hez köthető, ott meg már csak nem tanítanak hülyeségeket:

[link]

[A tényleges terület kiszámításánál figyelemmel kell lenni arra, hogy a határozott integrál ELŐJELES TERÜLETET ad meg, ezért ha a függvény görbéje az intervallumon belül átmetszi az x tengelyt, akkor részekre kell bontani az intervallumot, és külön integrálni.]

-Nem igazán értem, mit értesz "abszolútérték függvény" alatt, talán az |x|-et. Nem tudom, ezt miért ne lehetne integrálni...

[link]

Abban igazad van, hogy ha || van benne, akkor részekre kell bontani a függvényt, viszont ettől még az az állítás nem lesz nem igaz, hogy a függvény abszolútértékének integrálja fogja az összterületet megadni.

-Ha úgy érted, hogy a függvényt olyan részekre bontjuk, amiket lehet integrálni, akkor igazad van, de ez NEM FOG PONTOS EREDMÉNYT ADNI. Ilyen minőségben sokszor nem határozható meg a terület, még integrálással sem.

Sőt, olyan is lehet, hogy egy síkidomra nem tudunk adni jól illeszkedő függvényt, akkor még csak integrálni sem tudunk, ekkor is marad a numerikus számolás.

-Nagyon furcsa ez az ELTE-s dokumentum. Rögtön az elején a terület definíciójában lefekteti hogy "a terület értéke minden esetben pozitív vagy esetleg nemnegatív valós szám, ha létezik a terület." Én is így tanultam. Ugyanakkor később valóban használja az említett "negatív terület" szót is. Számomra ebből az következik hogy nem konzisztens a matematikai leírás a dokumentumban: vagy a negatív területet kell elfelejteni vagy a területet kell másképp definiálni a konzisztens leírás megtartásához.

Én úgy tanultam még jó régen hogy azt mondjuk, hogy az integrál értéke negatív, ez így helyes, mivel definícióból adódik. A területet meg az integrál abszolútértékeként számítjuk. Vagyis a terület összességében pozitív.

-Abszolútérték függvény alatt az f: x->|x| leképezést értem, ez nagyjából az amit írtál (eltekintve most attól hogy precíz megfogalmazásban a függvény és a függvényérték nem ugyanaz).

"Abban igazad van, hogy ha || van benne, akkor részekre kell bontani a függvényt, viszont ettől még az az állítás nem lesz nem igaz, hogy a függvény abszolútértékének integrálja fogja az összterületet megadni."

Ez korrekt. Technikailag azonban nem így számoljuk.

-Numerikus integrálással a terület tetszőleges pontossággal meghatározható. Azaz előre meghatározott tetszőleges hibahatáron belül előállítható a terület értéke. Ilyen szempontból az eredmény pontos. Ha arra gondolsz, hogy analitikus, zárt alakú megoldás nem kapható, abban igazad van - valóban nem. (eltekintve néhány "iskolapéldától" amelyben szemléltethető hogy a numerikus módszert analitikusan integrálható integrandusra alkalmazva a numerikus módszer eredménye az analitikus megoldáshoz konvergál).

.