Ezt az egyenletet hogyan oldjam meg?

Ahogy az első ajánlotta, írjuk be x helyére a c-t:

p(c) = c^2 + bc + c

Majd emeljünk is ki, ahogy ajánlotta:

= c*(c+b+1)

Két pozitív egész szám szorzata csak akkor lehet prímszám, hogyha az egyik prím, a másik 1. Tekintve, hogy c+b+1 csak akkor lehetne 1, hogyha a két betű közül az egyik nem negatív lenne, amit viszont a feladatkiírásnak ellent mondana, ezért kizárásos alapon c értéke csak 1 lehet.

Tehát a másodfokú függvényt már p(x)=x^2+bx+1 alakban keressük.

Ezen a ponton viszont már az első válaszolónak nincs igaza, ugyanis ennyiből p(c) értéke nem határozható meg egyértelműen, mivel b-től függ.

Most jön az, hogy a másik feltétellel foglalkozunk. Most x helyére b-t írjuk be:

p(b) = b^2 + b*b + 1, vagyis p(b) = 2b^2+1, valamint

p(b) = b^3 + 2

A tranzitív reláció értelmében, amik p(b)-vel egyenlőek, azok egymással is, így:

2b^2 + 1 = b^3 + 2

És ezt az egyismeretlenes egyenletet meg kell oldanunk. Rendezzük az egyenletet:

0 = b^3 - 2b^2 + 1

Ennek az egyenletnek ránézésre b=1 megoldása, de ezen kívül lehet más megoldás is (szám szerint 3 lehet összesen egy harmadfokú egyenlet esetén). Többféle megoldás is lehet a továbbjutásra, de aki az algebrai átalakításokban járatosabb, az a következő útvonalat tudja választani; alakítsuk át a jobb oldalt úgy, hogy nevezetes azonosságokat tudjunk alkalmazni;

0 = b^3 - b^2 + 1 - b^2

Az első két tagból ki tudunk emelni b^2-et, a második két tagra az (a+b)*(a-b) képletet tudjuk alkalmazni:

0 = b^2*(b-1) + (1-b)*(1+b)

Sajnos ebben az esetben csak majdnem van két azonos szorzótényezőnk, de egy előjelváltással tudjuk ezt orvosolni:

0 = b^2*(b-1) - (b-1)*(1+b)

Így pedig ki tudunk emelni (b-1)-et:

0 = (b-1)*(b^2-b-1)

Egy szorzat értéke akkor és csak akkor 0, hogyha legalább az egyik tényezője 0, így vagy b-1=0, vagyis b=1, vagy pedig b^2-b-1=0, ennek pedig nincsenek pozitív egész megoldásai.

Tehát az egyetlen szóba jöhető értéke a b=1, és mivel c=1 volt, ezért a

p(x)=x^2+x+1

volt a kérdéses polinom. Még ellenőriznünk kell, hogy (c+b+1) értéke prímszám-e; 1+1+1=3, ami prímszám, tehát minden feltétel teljesült.

A kérdésre pedig a válasz:

p(c=1) = 1^2+1+1 = 3.