A 2024 olyan négyjegyű szám, melyben az első három számjegy összege egyenlő az utolsó számjeggyel. Hány ilyen négyjegyű szám van?

165

Megszámoltattam a GeoGebra CAS-val.

Gyakorlatilag az a kérdés, hogy hány olyan háromjegyű szám van, melyben a számjegyek összege legfeljebb 9. Ezeket az ismétléses kombinációnál tanult módon tudjuk összeszedni;

Ha az összeg 9, akkor minden háromjegyű számot tudunk egyértelműen kódolni egy 9 o-ból és 2 |-ból álló jellel. Például a ooooo|ooo|o az 531 számot kódolja, a oo||ooooooo a 207-et, a ooooooooo|| pedig a 900-at. Ebben a kódrendszerben annyi hiba van, hogy például a |oooo|ooooo-ből a 045 szám olvasható ki, ami viszont nem háromjegyű, ezért annyi kikötést kell tennünk, hogy a kódunk o-val kell, hogy kezdődjön.

Jelen helyzetben így van 9 darab o-nk: ooooooooo, ezek közé kell két |-t tennünk úgy, hogy a legelső helyre egyik sem mehet. Emiatt a o-k 9 lehetőséget adnak a |-k elhelyezésére, így pedig már csak annyi a kérdés, hogy hányféleképpen lehet ennyi helyre őket elhelyezni. Ha két különböző helyre tesszük őket, akkor a megoldás (9 alatt a 2), de úgy is dönthetünk, hogy egymás mellé tesszük őket, vagyis mindkettőt ugyanarra a helyre tesszük, erre pedig így 9 lehetőségünk van, tehát (9 alatt a 2)+9 esetben lesz a háromjegyű számban a számjegyek összege 9.

Nem nehéz rájönni ezek alapján, hogy a 8-as összegnél (8 alatt a 2)+8 lehetőség lesz, és így tovább lefelé, tehát általánosan ha a számjegyek összege 1<=k<=9 egész, akkor (k alatt a 2)+k lehetőség van. Ha k>=2, akkor nincs gond a kifejezés értelmezésével, ha k=1, akkor az (1 alatt a 2)-vel lehetnek problémák; azt tanultuk, hogy ebben az esetben a felső szám mindig legalább akkora, mint az alsó. Ha viszont ez nem így van, akkor abban az esetben az értéke (definíció szerint) 0 lesz, vagyis (1 alatt a 2)=0.

Ha ezt az összeget végigszámoljuk ( (9 alatt a 2)+9 + (8 alatt a 2)+8 + (7 alatt a 2)+7 + ... + (1 alatt a 2)+1 ), akkor valóban 165-öt kapunk.