Melyik a 31 kettes számrendszerben?

Egyik sem, hiszen a kettes számrendszerben definíció szerint a számjegyek csak 0 és 1 lehetnek, 2 a számjegyek között nem szerepelhet.

Mivel a 32 = 2 az ötödiken (ami kettes számrendszerben 10000), ezért nyilvánvalóan 31=32-1 a kéttes számrendszerben a legnagyobb olyan szám lesz, ami 32-nél kisebb, azaz 31 a kettes számrendszerben 1111.

#1, a kérdésben látható utolsó 2-esek a 2-es számrendszert akarják szimbolizálni (írásban a szám jobb alsó sarkába, néha bekarikázva szoktuk írni), csak a kérdező ezt valószínűleg annyira nem tudja, ezért nem szólt külön.

Amikor feleletválasztós feladat van, sok esetben kétféleképpen számolhatunk; vagy megoldjuk úgy a feladatot, mintha nem lennének alternatívák, vagy pedig a lehetőségekből indulunk ki. Először nézzük most ezt az esetet, vagyis nézzük meg, hogy a kettes számrendszerben felírt számok mik 10-es számrendszerben.

Ehhez a következőket kell tudnunk; először is, minden úgy működik, mint 10-es számrendszerben, annyi különbséggel, hogy míg a 10-es számrendszerben a helyiértékek 10 egész kitevőjű hatványai (..., 1000, 100, 10, 1, illetve a törteknél 1/10, 1/100, 1/1000, ...), addig a 2-es számrendszerben ezek a helyiértékékek 2 egész kitevőjű hatványai (..., 8, 4, 2, 1, illetve a törtrészek: 1/2, 1/4, 1/8, ...) lesznek.

A másik dolog, hogy általános iskola alsó tagozatában megtanultuk, hogy minden szám felírható úgy, hogy a számjegyeket összeszorozzuk azok helyiértékével, majd az így kapott sorzatokat összeadjuk, például:

125 = 1*100 + 2*10 + 5*1

3074 = 3*1000 + 0*100 + 7*10 + 4*1

41,289 = 4*10 + 1*1 + 2*1/10 + 8*1/100 + 9*1/1000

A 2-es számrendszerben ugyanez a felállás, viszont a helyiértékek 2 hatványai lesznek; egész számok esetén az utolsó helyérték 1, ettől balra duplázódnak. Érdemes táblázatba foglalni a jobb áttekinthetőség kedvéért;

Ha az 1111 számból indulunk ki, akkor jobbról-balra a helyiértékek: 1; 2; 4; 8, tehát így tudjuk felírni táblázatba a számokat:

8 4 2 1

1 1 1 1

Ahogy az előbb láttuk, a számjegyeket összeszorozzuk a helyiértékeikkel, és az eredményeket összeadjuk (és mindezt 10-es számrendszerben végezzük el), így kapjuk:

1*8 + 1*4 + 1*2 + 1*1 = 15

Tehát a 1111(2) 10-es számrendszerbeli alakja 15.

Ugyanezeket a lépéseket a másik kettővel is el tudjuk játszani.

_______________________

Ha direkt akarjuk megoldani a feladatot, akkor egy számítási módot érdemes megjegyezni (bizonyítás nélkül); az adott számot mindig maradékosan elosztjuk 2-vel, aztán a kapott eredményt is, és így tovább addig, amíg nem 0 lesz az eredmény. A maradékokat végig felírjuk;

31:2 = 15, maradék: 1

15:2 = 7, maradék: 1

7:2 = 3, maradék: 1

3:2 = 1, maradék: 1

1:2 = 0, maradék: 1

Ebből a 2-es számrendszerbeli alakot úgy tudjuk kiolvasni, hogy a maradékokat LENTRŐL FELFELÉ egymás mellé írjuk, és az így kapott szám 2-es számrendszerben értelmezve lesz a 10-es számrendszerbeli szám alakja. Esetünkben ez 11111 (nyilván most ha a másik irányból írnánk, akkor is ugyanezt kapnánk, de ez nincs mindig így, ezért jegyezzük meg, hogy LENTRŐL FELFELÉ írjuk őket egymás mellé), tehát ez a keresett szám.

Mindkét eljárás tetszőleges számrendszerben működik, csak azt kell tudnunk, hogy az adott számrendszerekben milyen helyiértékek vannak.