Tekintsuk az f(x)=3x+1 és g(x)x^2+2 függvényeket! Oldd meg a valósz számok halmazán az fog(x)=gof(x) egyenlete?

Legyen f(x)=3x+1 és g(x)=x^2+2. Ekkor

fog(x) = f(g(x)) = f(x^2+2) = 3(x^2+2)+1 = 3x^2+7

és

gof(x) = g(f(x)) = g(3x+1) = (3x+1)^2+2 = 9x^2+6x+3

Ezért az fog(x)=gof(x) egyenlet azt jelenti, hogy

3x^2+7 = 9x^2+6x+3

Előző egyenletből 9x^2-3x^2-6x+4 = 0, ami 6x^2-6x+4 = 0. Ezt az egyenletet elosztva 2-vel, kapjuk, hogy 3x^2-3x+2 = 0.

Ebben az egyenletben a diszkrimans 9-12=-3. Mivel a diszkrimans negatív, ezért az egyenletnek nincs reális megoldása.

Válasz:

A valós számok halmazán az fog(x)=gof(x) egyenletnek nincs megoldása.

x1=(-3-sqrt(33))/6

x2=(-3+sqrt(33))/6