Deriválás: összetett függvényekről kérdés. Miről ismerem fel a deriválási feladatban,hogy az adott függvény összetett?

Akkor beszélünk összetett függvényről, amikor behelyettesítés után egy adott számon több műveletet végzünk el.

Az e^(x/4) + e ^(x/3) esetén először észrevesszük, hogy az összeg tagjait külön-külön deriválhatjuk, tehát külön-külön foglalkozunk velük.

Az e^(x/4) esetén ha x helyére beírnál egy számot, például a 8-at, akkor először a 8/4 műveletet végeznéd el, ami 2, majd ezzel az eredménnyel hatványoznád az e számot. A külső függvény mindig az a művelet, amit utoljára végzel el.

Tehát az e^(x/4) deriváltja így néz ki:

e^(x/4) * (x/4)' = e^(x/4) * 1/4, és készen vagyunk.

Vannak többszörösen összetett függvények is, akkor többször kell a láncszabályt alkalmazni. Például nézzük ezt a függvényt:

e^(sin^2(x)/8) deriváltja így néz ki; mivel az "e^" az utolsó művelet, ezért ez a külső függvényünk, tehát:

e^(sin^2(x)/8) * (sin^2(x)/8)'

Most a sin^2(x)/8 függvényt kell vizsgálnunk. Tudjuk, hogy a konstans szorzó nem befolyásolja a deriválást, ezért azt kivisszük:

e^(sin^2(x)/8) * 1/8 * (sin^2(x))'

A sin^2(x) esetén az "^2" a külső függvény, tehát aszerint deriválunk:

e^(sin^2(x)/8) * 1/8 * 2*sin(x) * (sin(x))'

Végül pedig a sin(x)-et kell deriválnunk:

e^(sin^2(x)/8) * 1/8 * 2*sin(x) * cos(x)

Még kicsit lehet kozmetikázni, ugyanis 1/8 * 2 = 1/4:

1/4 * e^(sin^2(x)/8) * sin(x) * cos(x)

Ez lesz a függvényünk deriváltja.

Ellenőrzésképp:

[link]

Amit írtál, f(x)= e^x/4 + e^x/3=7*e^x/12, az nem összetett függvény.

Amire lehet, hogy gondoltál, f(x)= e^(x/4) + e^(x/3), az egy összeg függvény, aminek mindkét tagja összetett függvény.

Mindkét összetett függvény belső függvénye lineáris függvény (x/3, x/4), külső függvénye exponenciális függvény (e^x).