Hogy kell megoldani ezt a szélsőértékes feladatot?

3x+8y=10

3xy+8y^2=10

3xy=10-8y^2

Ha y közelít a 0-hoz akkor xy közelít a maximumához, ami 10/3.

Elszúrtam.

3x+8y=10

3xy+8y^2=10y

3xy=10-8y^2+10y

3xy=10-8(y-5/8)^2+25/64

Az xy maximumértéke (10+25/64)/3.

y=5/8 x=5/3

Hacsak megint nem rontottam el. :-)

De már megint elrontottam

3x+8y=10

3xy+8y^2=10y

3xy=10-8y^2+10y

3xy=10-8(y-5/8)^2+valami konstans, amit már nem is próbálok kiszámolni. :-)

A maximumhelyen y=5/8 x=5/3 xy=25/24.

Írjuk 24 db (x/8)-ra és 24 db (y/3)-ra, azaz összesesen 48 db számra a számtani-mértani egyenlőtlenséget:

[(x/8)^24]*[(y/3)^24] ≤ [(3x + 8y)/48]^48 = (10/48)^48

A baloldal = [(xy)^24]/[(8^24)*(3^24)]

amiből rendezéssel: xy ≤ 25/24.