Hogy kell megoldani ezt a szélsőértékes feladatot?

A megadott feladatban a feltétel: \(3x + 8y = 10\), és a célfüggvény a \(xy\) szorzat.

Először rendezzük át az egyenletet, hogy kifejezzük \(y\)-t \(x\)-ben: \(y = \frac{{10 - 3x}}{8}\).

Eztán helyettesítsük be a \(y\)-t a célfüggvénybe:

\[f(x) = x \cdot \frac{{10 - 3x}}{8} = \frac{{10x - 3x^2}}{8} = \frac{{-3x^2 + 10x}}{8}\].

Most pedig deriváljuk \(f(x)\)-et, hogy megtaláljuk a kritikus pontokat:

\[f'(x) = -\frac{3}{4}x + \frac{5}{4}\].

Állítsuk be \(f'(x)\)-et nullára:

\[-\frac{3}{4}x + \frac{5}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}\].

Ez a kritikus pont.

Most vizsgáljuk meg a határeloszlásokat: \(x > 0\) és \(y > 0\). Mivel mindkét változó pozitív, ezért a kritikus pontban kiszámított \(x = \frac{5}{3}\)-nál lehet a maximum.

Helyettesítsük vissza a \(y = \frac{{10 - 3x}}{8}\) egyenletbe, hogy megkapjuk a \(y\)-t:

\[y = \frac{{10 - 3 \cdot \frac{5}{3}}}{8} = \frac{5}{8}\].

A \(xy\) szorzat maximuma tehát \(\frac{5}{3} \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{24}\).

xy maximuma kell, DE

3x + 8y = 10 azaz y= (10-3x)/8

Így:

(10-3x)*x/8 maximuma kell, innentől ez egyváltozós függvény szélsőérték keresése.

(1/8)*(-3x^2 +10x) deriváltja kell! a belső pontokban és a tartomány szélén külön kell vizsgálni!!

Belső pontokban:

(1/8)*(-6x +10) = 0

-6x +10= 0

x = 10/6 >0 -> y= 5/8 > 0 -> JÓ!

Második derivált:

(1/8)*(-6) = -6/8 -> mínusz -> (az első derivált pozitívból megy át negatívba, így az eredeti függvény a szélsőérték előtt emelkedik, utána csökken) -> MAXIMUM HELY

Tartomány szélén: x=0, vagy y=0:

I.x=0, y=10/8

II.y=0, x=10/3

I. Első derivált:

(1/8)*(-6x +10)=10/8 -> a tartomány szélén belépve emelkedik, így a tartomány széle egy lokális minimum.

II. Első derivált:

(1/8)*(-6x +10)=-10/8 -> a tartomány másik végén kilépve csökken, szintén lokákis minimum.

Tehát az egyedüli lokális maximum, az abszolút maximum is. Szorzatuk: 10/6*5/8=50/48...

3x+8y=10 => y=(10-3x)/8

Innen

x*y=x*(10-3x)/8

Ez egy másodfokú függvény. A maximumhelye a zérushelyek számtani közepe: 5/3.

A maximum: 25/24.

>(10-3x)*x/8 maximuma kell

-Eddig gondolom érthető, ha nem értesz a deriváláshoz, akkor úgy lehet okoskodni, hogy a 8-cal való osztás a maximumhelyet nem befolyásolja, csak az értéket, tehát ugyanott van maximuma, mint a

(10-3x)*x-nek, ami pedig -3x^2+10x, ami egy lefelé álló parabola. A csúcsa pont a két zérushely között félúton van, tehát a -3x^2+10x = 0 egyenletet megoldod, és veszed a két gyök számtani közepét.

Némi okoskodással egyszerűsíthetsz: a megoldóképletben a két gyököt a +-Gyök(b^2-4ac) tag viszi el középtől, tehát ha azt a részt lehagyod a megoldóképletről, rögtön a megoldást kapod, azaz -b/(2*a)

Jelen esetben -10/-6 = 5/3 az x

#6 alázás :D, igen ez így van. Az én megoldásom általánosabb esetekre jobb.

Az egyetemi szintű így nézne ki:

xy többváltozós deriváltja (y, x) vektor. [azaz (xy x-szerinit deriváltja, xy y-szerinti deriváltja)]

3x + 8y = 10 egyenes irányvektora: (8, -3)

[normálvektora:(3,8) -> (a,b) normálvektor akkor irányvektor (b,-a) vagy (-b, a)]

Ahol a két vektor merőleges egymásra, ott van szélsőértékhely, belső tartományon:

8y-3x=0 skalárszorzat (merőlegesség)

ÉS

3x+8y=10 egyenes.(feltétel)

Ez így egyenletrendszer.

Gimis szinten, (tehát nem mátrixokkal):

Összegük:

16y=10

y=10/16=5/8

Különbségük:

-6x=-10

x=10/6=5/3

Ugyan ott vagyunk.