Fizika feladat. Tudsz segíteni?

Ennek a praktikus megoldása, hogy az egyik autóra helyezed át a vonatkoztatási rendszert. Ő akkor áll, a másika utó pedig a sebességek vektorösszegével halad, abba az irányba.

Innen kezdve visszavezettük pont és egyenes távolsága geometriai problémára.

Ami még mindig nem egyszerű, ezért ez fakultáción szokott feladat lenni. Szóval többet nem segítek, mert biztos okos vagy, ha ilyen feladatot kaptál ;)

Ugye a sztenderd az az, hogy felírod a helyvektoraikat az idő függvényében, mondjuk az adott pillanat időpontját 0-nak választva, abból Pitagorasz-tétellel meglesz a távolságuk időfüggvénye, aminek meg kell keresned a minimumát.

Nyilván érdemes Descartes-koordinátarendszert felvenni úgy, hogy a két út a két tengely, így az A autót helyvektora, ha ő az x tengely mentén halad pozitív sebességgel:

rA(t) = (x0 + vA*t, 0),

ahol x0 = –10 km (ugye negatív, mert a sebességét választottam pozitívnak, és a kereszteződés felé halad),

a B autós helyvektora, vB-t hasonlóan pozitívnak választva:

rB(t) = (0, y0 + vB*t),

ahol y0 = –20 km.

A távolságuk

d(t) = sqrt(rA(t)^2 + rB(t)^2),

amit minimalizálni szeretnénk, de mivel a gyökfüggvény szigorúan monoton növekvő, így a minimum helye ott lesz, ahol az argumentumának van a minimum helye, szóval egy sima másodfokú függvény minimumhelyét kell megkeresned, aztán a t-t helyettesítened ebbe a képletbe.

Kicsit átfogalmazva: van egy derékszögű háromszöged, amit a két autó és a kereszteződés határoz meg. Ennek a két befogója változik az idő függvényében, az egyik befogó hossza

a = x0 + vA*t,

a másik

b = y0 + vB*t.

Az a kérdés, hogy mi lesz

c = sqrt(x0^2 + y0^2 + (2*x0*vA + 2*y0*vB)*t + (vA^2 + vB^2)*t^2)

minimuma, és erre javasoltam, hogy először a gyök argumentumának minimumhelyét keressük meg, és azt helyettesítsük:

tmin = –(x0*vA + y0*vB)/(vA^2 + vB^2),

és innen valószínűleg numerikusan érdemes befejezni.

Nem kell ennyire túlbonyolítani... Amikor t óra eltelik, akkor a lassabb, |10-60t|, a gyorsabb |20-130t| km-re lesz a kereszteződéstől. Mivel (két esetet kivéve) minden esetben helyzeteik egy derékszögű háromszöget határoznak meg, ezért Pitagorasz tételével ki lehet számolni a köztük fennálló távolságot:

négyzetgyök(|10-60t|^2 + |20-130t|^2)

És ennek keressük a minimumát.

Mivel a gyökvonás nem befolyásolja a minimum helyét (vagyis hogy milyen pozitív t-re lesz a kifejezés értéke a legkisebb), ezért elhagyható. Az || csak azt befolyásolta, hogy pozitiv számokkal tudjunk számolni, de a négyzetre emelés egyébként is pozitívvá tesz mindent, ezért ez is elhagyható. Innentől kezdve csak a másodfokú kifejezés minimumát kell megkeresni, amire több eszközt is tanultatok.

A két speciális eset abban az időpillanatban lesz, amikor a kocsik áthaladnak a kereszteződésen, ekkor helyzeteik nem derékszögű háromszöget határoznak meg. Viszont ezeket az eseteket is lefedi a fenti kifejezés, tehát ezzel nem kell külön foglalkoznunk.

Ha megvan az idő, akkor a képlettel a távolság is kiszámolható.

A 15:17-es egyszerűsítéséhez annyit tennék hozzá (azon felül, hogy nem értem, lényegében miben különbözik az ő megoldása a 14:37-esben vázolttól), hogy amikor olyat csinálunk, hogy elhagyjuk a mértékegységeket, és az

x0 + vA*t

helyett

–10 + 60*t-t

írunk, akkor már nem a távolságot számolja a

sqrt(|–10 + 60*t|^2 + |–20 + 130*t|^2)

képlet, hanem hogy hány kilométerre vannak egymástól az autók.

Amikor így elhagyjuk a mértékegységeket, az tűnhet egyszerűbbnek, mert a bonyolítás, hogy ellenőrizzük, hogy a mértékegységek kompatibilisek, és hogyan hagyhatjuk el őket, az rejtve marad (főleg, ha kedvesek a feladat kiírói). Szoktak így elveszni pontok a dolgozatokban… (Másrészt a 14:37-esben is egy egyváltozós függvény van, és nincs benne egyenletrendszer. De oké, ez alátámasztja a mondandódat.)

Ha már bonyolítások, akkor a 13:55-ösé tetszik, szerintem megoldom magamnak úgy a feladatot, ahogy ő javasolta.