Hogy oldjam meg az alábbi 2 sorozatos feladatot? (Kérlek, még holnapra kellene)

Hamar eszedbe jutott...

1) Írd fel a sorozat első néhány elemét:

a1 = 1

a2 = 1 + 2^2 = 1 + 4

a3 = 1 + 4 + 3^2 = 1 + 4 + 9

Innen már lehet látni, hogy az n-edik tag az 1-től az n^2-ig tartó négyzetszámok összege lesz, ezt az összeget pedig már kellett tanulnotok. A végeredmény:

a(n) = n*(n+1)*(2n+1)/6

2) Itt is kezdjünk azzal, hogy felírjuk az első néhány tagot:

a1 = 2

a2 = 5*2 - 2 = 8

a3 = 5*8 - 2 = 38

a4 = 5*36 - 2 = 188

Hát, ebből túl sok minden nem derült ki. Nézzük kicsit másképp:

a1 = 2

a2 = 5*2 - 2

a3 = 5*(5*2 - 2) - 2 = 5^2*2 - 5*2 - 2

a4 = 5*(5^2*2 - 5*2 - 2) - 2 = 5^3*2 - 5^2*2 - 5*2 - 2

Innen már lehet látni a törvényszerűséget. Két dolgot kell észrevennünk; az eredményt két részre tudjuk bontani:

-Az első tag mindig a tag sorszámánál 1-gyel kisebb kitevőjű 5-hatvány duplája lesz, tehát an esetén az első tag 2*5^(n-1).

-Az összes többi tagot ebből kivonjuk, azok pedig egy mértani sorozatot alkotnak, ahol a sorozat első tagja 2, a kvóciens 5 és (n-1) darab tagból áll. Ha ezeket összeadjuk, akkor tudjuk, hogy mennyit kell összesen kivonnunk. A mértani sorozatnál tanult összegképlet alapján: 2*(5^(n-1) - 1)/(5-1), ezt még tudjuk egyszerűsíteni: (5^(n-1) - 1)/2.

Így pedig már fel is tudjuk írni a sorozatot:

an = 2*5^(n-1) - (5^(n-1) - 1)/2. Ha nagyon szeretnéd, ezt is lehet egy kicsit alakítani, csak hogy ne legyen annyi helyen ismeretlen benne:

= (3*5^(n-1) + 1)/2

(Maga a számítás onnan lehet ismerős, amikor úgy kamatos kamatoztattuk a pénzünket, hogy minden kamatozás előtt újra betettük az alaptőkét. Az elv ugyanaz, csak a számítás kicsit más.)

Értem én hogy kell a matek, de gimi 3. osztályán ilyen példákat?

Inkább normális hétköznapi feladatok kiszámítására tanítanák meg a tanulókat.