Egyetemi matekon tanuljuk a sorozatokat, meg hasonló szépségeket, infimuma,szupréruma, legkisebb felső korlát? ?

Jobb lett volna, hogyha írsz példákat, amiket nem értettél.

Kezdjük az elején; a sin(x) függvényt remélem ismered. Erre azt mondjuk, hogy egy korlátos függvény, mivel két érték között mozog. Korlát alatt mindig egy olyan értéket értünk, amelyet a függvény nem lét át (legfeljebb "érinti", vagyis értékéként felveszi, de annál kisebbet/nagyobbat nem). Például a függvénynek felső korlátja a 2, mert minden értéke 2-nél kisebb. Alsó korlátnak pedig mondhatjuk akár a (-5)-öt is, mivel ennél csak nagyobb értékeket vesz fel.

A következő kérdés az, hogy tudunk-e legnagyobb felső, illetve legkisebb alsó korlátot mondani a függvényhez/sorozathoz, ezeket hívjuk infémumnak és suprémumnak. A sin(x) függvény esetén nincs nehéz dolgunk, mivel tudjuk, hogy értékkészlete a [-1;1] intervallum, tehát legnagyobb alsó korlátnak mondható a (-1), a legkisebb felső korlátnak az 1. És itt jön az, amit korábban írtam; a (-1)-et és az 1-et is felveszi a függvény értékként, de azokon nem megy túl. Például az 1/2-et is felveszi a függvény, viszont az 1/2-től kisebb és nagyobb értékeket is felvesz, emiatt az 1/2 nem mondható a sin(x) korlátjának. Szerencsés esetben (mint ez is) a függvénynek/sorozatnak van globális minimuma vagy maximuma, ilyen esetben min=inf és max=sup.

Fordítva viszont nem igaz a dolog, vagyis lehet úgy egy függvénynek infémuma/suprémuma, hogy nincs minimuma vagy maximuma, erre tipikus példa az arctg(x):

[link]

A függvényről azt tudjuk, hogy (-pi/2) és pi/2 közötti értékeket vesz fel, viszont a (-pi/2)-t és a pi/2-t nem. Ezek az értékek viszont infémuma és suprémuma lesz a függvénynek.

Fordítva!

infimum: legnagyobb alsó korlát

szuprémum: legkisebb felső korlát

A felső korlát egy olyan érték, ami alatt végig a függvényértékek maradnak. A sin(x) esetén bármilyen 1-nél nagyobb számot mondhatunk. Erre hoztam fel példának a 2-t, de mondhattam volna a 100-at vagy a 1,12-t is, mivel ezek a számok mind nagyobbak, mint a sin(x) bármelyik értéke.

Vagy másként; a 2 azért lesz felső korlát, mert a sin(x) <= 2 egyenlőtlenség bármilyen x-re teljesül.

Ezután jogosan felmerülhet a kérdés, hogy van-e olyan legkisebb k szám, hogy a sin(x) <= k minden x esetén teljesül. És itt az a válasz, hogy az 1 lesz, mivel a sin(x)<=1 egyenlőtlenség minden x-re teljesül, VISZONT ha az 1-nél kisebbet írunk, például a 0,8-et, akkor a sin(x)<=0,8 egyenlőtlenségnek ugyan végtelen sok megoldása lenne, viszont nem az összes x; például x=0,93 (radián) esetén sin(0,93)=~0,80162, ez pedig több, mint 0,8. Tehát a sin(x) legkisebb felső korlátja, vagyis suprémuma az 1 lesz.

Ugyanezt a gondolatmenetet végig lehet zongorázni az infémumra is, akkor arra a (-1)-e fogjuk kapni.

"De ha egy sorozat szig mon no, akkor az also korlatja az a1 nem?"

Természetesen igen. A sorozat szigorúan monoton növekedése garantálja nekünk azt, hogy az a1 lesz a sorozat globális minimuma, és mint korábban írtam, ha a globális minimum létezik, akkor globális minimum = infémum. Ha pedig szigorúan monoton csökken a sorozat, akkor az a1 a maximuma, így pedig a suprémuma lesz a sorozatnak.