Bizonyítsuk be, hogy ha egy húrtrapéz érintőtrapéz is, akkor a beírt kör érintési pontokba húzott sugarai hasonló négyszögekre bontják a trapézt??????

Sajnos nem egészen látom át a gondolatmenetet (vizuálisabb típus vagyok, és most nem tudok rajzolni), de a végkövetkeztetés biztosan nem jó;

Húrnégyszög esetén a szemközti szögek összege 180°, ezt leírtad, de a húrtrapéznál nincs is szükség erre a tételre, ugyanis tudjuk, hogy a húrtrapézhoz csak annyi kell, hogy az alapok felezőpontját összekötő szakasz merőleges legyen az alapokra, ekkor az lesz a szimmetriatengelye.

Érintőnégyszög esetén a szemközti oldalak összege ugyanannyi. Ennek megfelelően például a 3-2-1-2 cm-es oldalakkal rendelkező húrtrapéz egyben érintőtrapéz is lesz, ami pedig nyilván nem négyzet.

Egyébként pedig a levezetésed szerint a téglalapokat is meg kellett volna kapnod.

Nem mellesleg a feladat sokkal egyszerűbben is bizonyítható. Azt kell csak kihasználnod, hogy mi határozza meg a beírható kör középpontját.

"Az egymással szemben levő négyszögeknek van csucsszoguk, és ket-ket 90 fokos szoguk"

Ez biztosan hibás. Ha felrajzolod az ábrát, akkor láthatod, hogy nem sok esély van arra, hogy csúcsszögek keletkezzenek (az említett négyzetet és téglalapot leszámítva nem lesz erre lehetőség).

Leírom nagy vonalakban, hogy én hogyan csináltam meg a bizonytást;

Legyen a hosszabbik alap a, a rövidebbik c hosszú, a magasság m. A szárak egyenlő hosszúak, és mivel összegük a fent ismertetett tétel szerint az alapok összegével kell megegyezniük, ezért a szárak hossza (a+c)/2 hosszúságú lesz.

Most húzzuk be az érintősugarakat, amik egyébként m/2 hosszúságúak, érthető okokból. Ha ez megvan, akkor a négy keletkező kisebb négyszög oldalait meg tudjuk határozni;

-két négyszög két oldala c/2, másik két oldala m/2 hosszú,

-két négyszög két oldala m/2, másik két oldala a/2 hosszú.

Mivel arra hajtunk, hogy ezek hasonlóak legyenek, ezért az egymásnak megfeleltethető oldalakat el kell osztanunk egymással:

(c/2):(m/2) = (m/2):(a/2), rendezés után:

a*c = m^2

Tehát az állítás akkor igaz, hogyha ez a szorzat teljesül.

Most rajzoljunk egy másik trapézt, és foglalkozzunk vele úgy, ahogyan a szimmetrikus trapézokkal számolni szoktunk; húzzuk be a két magasságot, ekkor keletkeznek derékszögű háromszögek, melyek befogói (a-c)/2 és m hosszúak, átfogóik (a+c)/2 hosszúak, így Pitagorasz tételét felírhatjuk:

((a-c)/2)^2 + m^2 = ((a+c)/2)^2, ebből rendezés után megkapjuk az a*c=m^2 összefüggést, tehát az eredeti állítás feltétele teljesül, így az eredeti állítás igaz lesz.

Biztosan van tisztán geometriai jellegű bizonyítása is, abban nem voltam túl jó sosem.