Mi a különbség a négyszög és a négyzet között?

Kicsit most általánosabban fogok beszélni.

-> Egy két dimenziós politóp támaszfélsíkjának hívunk egy olyan félsíkot, mely a politópot tartalmazza. Ha a támaszfélsík és a politóp metszete egy 1-dimenziós politóp, úgy a támaszfélsíkot lényeges támaszfélsíknak nevezzük. A szemléletessége ellenére kicsit komplikált belátni, hogy minden 2-dimenziós konvex politóp a lényeges támaszfélsíkjainak a metszete.

-> A négyszögekre térve, egy A,B,C,D pontnégyest négyszögnek hívunk, AB,BC,CD és DA oldalakkal. Ha A=B és C=D vagy az A,B,C,D pontok kollineárisak, akkor a négyszöget elfajulónak nevezzük. Ha Az ABCD négyszögben a szemközti oldalak párhuzamosak, akkor paralelogrammának nevezzük; elfajuló paralelogrammáról beszélünk akkor, ha A=B és C=D, vagy A,B,C,D különbözők, kollineárisak, és tetszőleges, nem a pontok közös egyenesére eső X,Y pontokra ABXY akkor és csak akkor paralelogramma, ha XYDC is paralelogramma. Ha egy paramelelogramma oldalai egyenlők, úgy azt rombusznak, ha még ezen felül oldalai pi/2 szöget zárnak be, akkor négyzetnek nevezzük. Tekintve, hogy a Pasch-axióma miatt az ABCD paramelogramma átlói AC és BD átlói metszik egymást, ezért a paralelogramma, és így a rombusz és négyzet esetében is meghatározó az azokat definiáló pontok sorrendje. Az ABCD paralelogramma esetén csak a BCDA, CDAB, DABC négyesek paralelogrammák.

-> Nyitott könyv tulajdonság és Desargues-tulajdonság.

Azt mondjuk, hogy egy affin sík nyitott könyv tulajdonságú, ha ABCD és CDEF paralelogrammák esetén ABFE is paralelogramma. Bármilyen szemléletes is az állítás, ez az axiómákból nem következik.

A továbbiakban pár szót szólok a háromszögekről. A párhuzamosság az affin síkon ekvivalenciareláció, melynek ekvivalenciaosztályait ideális pontoknak, ezek halmazát ideális egyenesnek nevezzük. Két egyenes párhuzamossága tehát azzal fejezhető ki, hogy egy ideális pontban metszik egymást. Vegyünk most ABC és A'B'C' háromszögeket, melyekre A!=A', B!=B' és C!=C'. Azt mondjuk, hogy ABC és A'B'C' egy pontra nézve perspektívek, ha az AA', BB', CC' egyenesek egy közös (esetleg ideális) pontra illeszkednek. Azt mondjuk, hogy az ABC és A'B'C' tengelyesen perspektív, ha az AB ∩ A'B', BC ∩ B'C', CA ∩ C'A' metszéspontok egy közös (esetleg ideális) egyenesre illeszkednek.

Azt mondjuk, hogy egy affin sík Desargues-tulajdonságú, ha annak nemelfajuló háromszögpárjai pontosan akkor perspektívek pontra nézve, ha tengelyesen is perspektívek. Könnyen látható, hogy ha egy affin síkon a pontra való perspektivitásból következik a tengelyes perspektivitás, akkor az Desargues-tulajdonságú. Macerás, de egyszerű látni azt is, hogy minden Desaruges-tuladjusonságú affin sík nyitott könyv tulajdonságú és fordítva, tehát a két tulajdonság ekvivalens.

Tudom, hogy ez így száraz és tömény, de jó még kellő időben megszokni, hogy a geometria egy elég erős dolog, egyetemeken jellemzően erősen megtizedeli a szakokat.