Egy családban az volt a szokás, hogy a tanév végén a három testvér mindegyike annyi könyvet kapott ajándékba az apjától, ahány éve iskolába jár. Bizonyos idő alatt összesen 28 könyvük gyűlt össze. Hányadik psztályt fejezték be ekkor a testvérek?

Azt kérdezted, hányadik osztályt fejezték be. Szerintem a másodikat, ötödiket és negyediket.

Nem tudom, hogy ezt matekban hogy vezetnék le, de én arra gondoltam, hogy:

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

és így továb... Próbálkoztam az 1, 3, 6, 10, 15 számokat úgy kombinálni, hogy az összegük pont 28 legyen. És ez 15+10+3 kombinációnál jött ki, ezért gondolom, hogy az egyik testvér az ötödiket végezte el (15 könyve van már), a másik a negyediket (10 könyve van), a harmadik meg a másodikat (3 könyve van).

Legyen

x, y, z - a befejezett osztály sorszáma

Sx, Sy, Sz - a gyerekek könyveinek száma

Sö = 28 - az összes könyv száma

A gyerekek által egyenként kapott könyvek száma tkp. egy olyan számtani sor összege, melynek első eleme 1, az utolsó pedig a befejezett osztály sorszáma, a differenciája pedig 1.

Vagyis

Sx = x(x+1)/2

Sy = y(y+1)/2

Sx = y(y+1)/2

Ezek összege

Sö = Sx + Sy + Sz = 28

Könnyen igazolhatók a következő állítások

1.) Nem lehetnek hármas ikrek (x=y=z)

2.) Nem lehet közöttük kettes iker pl.: x=y

3.) Ha x>y>z, akkor az x=y+1 és z=y-1 esetén sincs megoldás.

4.) x>y>z, de y-z > 1

Tehát a három gyerek különböző korú, és ha a legidősebbhez viszonyítjuk a többiek korát, akkor

x = x

y = x - a

z = x - b

vagyis a középső 'a' évvel, legfiatalabb 'b' évvel fiatalabb a legidősebbnél.

A három gyerek könyveinek száma

Sx = x(x + 1)/2

Sy = (x - a)(x - a + 1)/2

Sz = (x - b)(x - b + 1)/2

Kettővel szorozva mindkét oldalt és összeadva az egyenleteket

2(Sx + Sy + Sz) =x(x + 1) + (x - a)² + (x - a) + (x - b)² + (x - b)

2*Sö = x(x + 1) + (x - a)² + (x - a) + (x - b)² + (x - b)

A levezetést mellőzve x-re a következő megoldás jön ki

x = (k + √D)/6

ahol

k = 2(a + b) - 3

D = 24(Sö + a*b) + 9 - 8(a + b)²

Elég randa, mit mondjak, de működik. :-)

Lássuk a különböző esteket. Sajna, nem lehet elkerülni a próbálgatást.

Elég a determinánst vizgálni, ha nem négyzetszám, nincs egész számú megoldás

D = 24(Sö + a*b) + 9 - 8(a + b)²

1.) eset

a=b=0

D = 24*28 + 9

D = 681 - nem megoldás

2.) eset

a=b=1

D = 24(28 + 1) + 9 - 32

D = 673 - nem megoldás

3.) eset

a=1

b=2

D = 24(28 + 2) + 9 - 72

D = 657 - nem megoldás

4.) eset

b>2a

a = 1

b = 3

D = 24(28 + 3) + 9 - 8*16

D = 625 - ez a megoldás!

Behelyettesítve az 'x' egyenletébe

x = (k + √D)/6 (emlékeztetőül: k = 2(a + b) - 3)

x = [2(1 + 3) - 3 + 25] /6

x = (8 - 3 + 25)/6 = 30/6

x = 5

====

Vagyis a legidősebb gyerek az 5. osztályt fejezte be

A többiek

y = x - a = x - 5

y = 4 - a középső negyedikes volt

====

z = x - b = x - 3

z = 2 - a kicsi másodikba járt

=====

Próba

Sx = 1+2+3+4+5 = 15

Sy = 1+2+3+4 = 10

Sz = 1+2 = 3

Sö = 28

------------

Biztos van ennél elegánsabb megoldás is, aki tudja, közölje velünk.

DeeDee

**********

Bocs!

Sx = x(x+1)/2

Sy = y(y+1)/2

Sx = y(y+1)/2

helyett

Sx = x(x+1)/2

Sy = y(y+1)/2

Sz = z(z+1)/2

ezt akartam írni.