Hogy tudom kiszámolni egy függvény minimumát vagy maximumát?

#9, amit leírsz, az nem definíció, hanem állítás. Amit aztán akként is kezelsz, hisz a következő szakaszban már írod, hogy a megfordítás nem igaz.

Tehát akkor fogalmak:

-> valós-valós függvények

- lokális szélsőérték: az f függvénynek lokális minimuma van az x_0 helyen, ha x_0-nak van olyan környezete, hogy minden ebbe a környezetbe eső x-re f(x)>=f(x_0). Szigorú lokális minimumról beszélünk, ha ebben a környezetben f(x)>f(x_0) is teljesül. Analóg módon definiálható a lokális maximum és a szigorú lokális maximum.

- globális szélsőérték: legyen H egy valós számhalmaz, f:H->R függvény; azt mondjuk, hogy f-nek x_0-ban globális minimuma van, ha minden H-beli x-re f(x)>=f(x_0). Szigorú globális minimumról beszélünk, ha minden H-beli x-re f(x)>f(x_0) teljesül. Analóg módon definiáljuk a globális maximumot és a szigorú globális maximumot is.

Mindjárt itt egy állítás, ami teljesen független a deriválástól, és a globális szélsőértékekről szól.

Weierstraß-tétel: Korlátos, zárt intervallumon folytonos függvény felveszi szélsőértékeit.

Aztán igaz az, amit #9 leírt, hogy ha egy függvény differenciálható az x_0 helyen, és ott szélsőértéke van, akkor szükségképp f'(x_0)=0. Ezt nagyon könnyű belátni: egyszerűen a differenciahányados definíciójából adódik, hogy az f'^- baloldali deriváltra f'^-(x_0)>=0, míg a jobb oldali deriváltra f'^+(x_0)=<0, de f differenciálható x_0-ban, amiért

f'^-(x_0)=f'^+(x_0)=f'(x_0)=0.

Elegendő feltételek adhatók még magasabb rendű deriváltak segítségével a lokális szélsőértékre vonatkozólag.

-> R^k->R függvények

A szélsőértékek fogalma itt is ugyanaz, csak a környezetet gömbkörnyezetre, vagy azzal (Hausdorff-értelemben) ekvivalens környezetre kell kicserélni.

A Weierstraß-tétel analogonja: a kompakt halmazon értelmezett, folytonos f:R^k->R függvény felveszi szélsőértékeit.

- az egyváltozós eset analogonja lokális szélsőértékre: ha egy függvény az x_0 helyen minden változója szerint parciálisan differenciálható, és ott szélsőértéke van, akkor gradiense eltűnik. Ez egy trivialitás, egyszerűen meg kell nézni a szekciófüggvényeket, ezek már egyváltozós függvények, és alkalmazni kell erre az egyváltozós esetben már tárgyalt állítást.

Tintakoptatással ugyan, de könnyen látható az is, hogy ha egy f:R^k->R függvény kétszer totálisan differenciálható az x_0 helyen, és ott gradiense eltűnik, illetve ha a második differenciálja ott pozitív (negatív) definit kvadratikus alak, akkor ott szigorú lokális minimuma (maximuma) van. Ha ez a kvadratikus alak indefinit, akkor itt nincs szélsőérték.

Vegyük észre, hogy ez az állítás semmit nem mond arról az esetről, ha netalán szemidefinit jönne ki! Megfigyelhetjük azt is, hogy k=1 esetben pontosan a bevezető kalkulusban megismert másodikderivált-tesztet kapjuk vissza.

Aztán lehet játszogatni Hesse-mátrixokkal, a gyakorlatban ez szokott előjönni. A feltételes szélsőértékeket meg most eresszük el, mert nem csak a Lagrange-multiplikátorok léteznek ezen a területen, az alkalmazások terén meg pláne nem.

-> R^k-R^k függvények

A Weierstraß-tételt azért végigviszem, ugye itt már nem lehet szélsőértékről beszélni, de az könnyen látható, hogy kompakt halmazon értelmezett folytonos R^k->R^k függvény az indulási halmazát R^k kompakt halmazába képezi.

"Weierstraß-tétel: Korlátos, zárt intervallumon folytonos függvény felveszi szélsőértékeit."

Itt valami nem stimmel. Minden függvény felveszi a szélsőértékét, mert a szélsőérték a függvény értékkészletének eleme.

#13, annyiban valóban pongyola, ahogy leírtam, hogy a pontos állítás valahogy úgy hangozna mondjuk egyváltozós esetben, hogy korlátos zárt intervallumon függvény korlátos és felveszi szuprémumát és infimumát. Ezt a tételt valahogy szinte mindenhol így mondják ki, de teljesen igazad van, pongyolán fogalmaztam.

#14, látod, mennyire magoltam? Még be is ismerem, hogy pongyolán fogalmaztam :)

#7

Függvény szélsőértéke, azaz helyi minimuma vagy helyi maximuma van ott, ahol az első deriváltja nulla.