Légyszi segítsen valaki ebben a bizonyításban?

Egy szám akkor osztható 15-tel, hogyha osztható 3-mal és 5-tel. Ezért elég csak a hatványok 3-as és 5-ös maradékaikat nézni;

Nézzük meg, hogy a 4-hatványok milyen maradékokat adnak 3-mal;

4^0=1, maradéka 1

4^1=4, maradéka 1, innentől pedig biztosan ismétlődni fog, tehát a 4-nek minden hatványa 1-et maradékul 3-mal osztva.

Nézzük a következőt;

52^0=1, maradéka 1.

52^1=52, maradéka 1. Itt is ugyanaz lesz a helyzet, mint az előbb, tehát mindig 1 lesz a maradék.

2023 esetén:

2023^0=1, maradéka 1

2023^1=2023, maradéka 1, tehát itt is mindenkinek a maradéka 1 lesz.

Amikor számokat összeadunk, akkor a maradékok is összeadódnak; 1+1+1=3, ami osztható 3-mal, emiatt az egész összeg is osztható lesz 3-mal.

Az 5-tel oszthatóságra ugyanezt meg lehet nézni, de van más lehetőség is; az utolsó számjegynek kell 0-nak vagy 5-nek lennie, ezért elég csak az utolsó számjegyeket vizsgálnunk;

4^0=1, utolsó jegye 1

4^1=4, utolsó jegye 4

4^2=16, utolsó jegye 6

4^3=64, utolsó jegye 4, és innentől váltakozni fognak az utolsó számjegyek.

Tehát ha a kitevő páratlan, akkor az utolsó jegy 4, ha pozitív páros, akkor 6. Most 52 van a kitevőben, ami páros, emiatt a 4^52 utolsó jegye 6 lesz.

52 hatványira ezt látjuk: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, tehát a 2, 4, 8, 6 ismétlődik, attól függően, hogy a kitevőnek milyen a 4-es maradéka (mivel 4-es ciklusban követik egymást). A 2023 4-es maradéka 3, emiatt az utolsó számjegy 8 lesz.

A 2023 hatványai esetén: 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, tehát az 1, 3, 9, 7 ismétlődik. Ahogy az előbb, itt is a kitevő 4-es maradéka kell nekünk, az 52 osztható 4-gyel, tehát az utolsó számjegy 1 lesz.

Most adjuk össze az utolsó jegyeket; 6+8+1=15, ami 5-re végződik, tehát az eredeti összeg utolsó számjegye 5 lesz, így osztható lesz 5-tel.

Ezzel beláttuk, hogy a szám osztható 3-mal is és 5-tel is, így osztható lesz 15-tel is.

A 3-mal és az 5-tel való oszthatóságot külön-külön bizonyítani kell. A kongruenciákkal való számolás szabályaira szükséged lesz hozzá: [link]

A 3 esetében egyszerű a feladat, mert a 4, az 52 és a 2023 közös tulajdonsága, hogy 3-mal osztva 1-at adnak maradékul, és ez minden pozitív egész hatványukra igaz marad. A végén marad tehát három szám, amelyek 1-et adnak maradékul 3-mal osztva: az összegük pedig osztható 3-mal.

Az öttel való oszthatóság egy fokkal nehezebb feladat. 4 ≡ -1 mod 5 (a négyet öttel osztva -1-et kapunk maradékul), ezért 4^52 ≡ -1^52 ≡ 1^26 ≡ 1 mod 5 (4^52 öttel osztva 1-et ad maradékul). 52 ≡ 2 mod 5, és 52^2023 = (((52^7)^17)^17). Vagyis 52^2023 ≡ (((2^7)^17)^17) mod 5. Mivel 2^17 = 128, ami 5-tel osztva 3-mat ad maradékul, 52^2023 ≡ ((3^17)^17) ≡ ((-2^17)^17 ≡ ((-2×(-2×-2)^8)^17 ≡ (-2×(-1)^16)^17 ≡ -2^17 ≡ -2 mod 5. Végül 2023^52 ≡ -2^52 ≡ (((-2)^2)^2)^13 ≡ 1 mod 5. Összefoglalva: 5-tel osztva 4^52 maradéka 1, 52^2023-é -2 (vagy 3, ugyanarról van szó), 2023^52-é pedig 1. Az összegüké 0, ami azt jelenti, hogy ez az összeg osztható 5-tel.