Teljes indukciós bizonyításban kéne segítség, a legvégén akadtam el?

szorozd be 7-tel a k-st:

4|7*7**k+70k-35

emelj ki:

4|7*7**k+10k+5 +60k-40

ebből a 60k-40 osztható 4-gyel, ezért a 7*7**k+10k+5 is

Eddig teljesen jó, de a bizonyítás akkor ér véget, ha (k+1)-re is be tudjuk látni, ehhez meg kell jelentetni a kifejezésben a k-ra adott feltételezést. Méghozzá így:

A feltétel k-ra: 4| 7^k + 10k -5

(k+1)-re: 4| 7^(k+1) + 10(k+1) -5

alakítsuk a kifejezést úgy, hogy visszaköszönjön az előző alak benne:

7^(k+1) + 10(k+1) -5 = 7* 7^k +10k +5 = (7^k + 10k -5) + (6* 7^k -10)

Az első tagról feltétel szerint tudjuk, hogy a 4 osztja, be kell látnunk, hogy a második taggal is így van, hiszen ua. maradékosztályba kell esnie, mint az első tagnak az összegzés miatt.

újabb teljes indukcióval:

4| 6* 7^k -10

k=1 triviális, 4|32

k=s -re feltesszük: 4| 6* 7^s -10

Megnézzük k= (s+1)-re:

4| 6* 7^(s+1) -10

6* 7^(s+1) -10 = 6*7*7^s -10= (6* 7^s -10) + (36* 7^s)

Majd ezen összeg első tagja a feltétel, és a második tag szorzatalakjából egyértelműen következik, hogy a 4 osztója, hiszen 36 szorzótényezőként szerepel.

Ezzel bebizonyítottuk, hogy

4| 7^n + 10n -5 bármely természetes n esetén.

Kiegészítés 2-eshez.

Annak a belátásához, hogy (6*7^k - 10) osztható 4-gyel, nem kell teljes indukció. Páratlan szám pozitív egész hatványa mindig páratlan, azaz 7^k=2m+1 alakú. Ezért 6*7^k 4-gyel osztva 2 maradékot ad. És a 10 is.