El tudná magyarázni valaki a differenciálszámításban a Cauchy féle középértéktétel bizonyítását?

Magát a tételt nem ismerem annyira.

Felteszem, hogy a tétel bizonyításához mindenképp kell egy f(x) és egy g(x) függvény, és mivel a tételben különbségek vannak, ezért valami f(x)-g(x) függvényt keresünk. De önmagában ez a függvény nem lesz jó, ezért megfelelő konstansokkal, egy A*f(x)+B*g(x) függvényt keresünk (ha mindenképp különbség kell, akkor B negatív lesz, és nincs probléma). Ha A=/=0, akkor a függvényt oszthatjuk A-val, a konstans pedig nem zavar bele a deriválásba, ezért f(x)+(B/A)*g(x) alakban is kereshetjük a függvényt. És ezt a B/A együtthatót jelöli a lambda.

Ha a Caughy-tételt nézed, akkor gondolom, a Lagrange-tétel már megvolt. Ott azt csináljuk, hogy keresünk egy alkalmas segédfüggvényt, amire ráeresztve a Rolle-tételt, pont a bizonyítandót kapjuk. Most sem teszünk másképp.

A segédfüggvényt (itt egy kicsit kalapból nyuszi a bizonyítás, de csak itt) F(x)=f(x)+ λg(x) alakban keressük, ahol λ a keresendő konstans szorzó.

Nekünk a Rolle-tétel feltételei szerint az kell, hogy

1) F(a)=F(b) álljon.

Tehát F(a)=f(a)+ λg(a)=f(b)+ λg(b)=F(B), a középső két egyenlőséget λ -ra rendezve λ=-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))

Azaz F(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))g(x).

2) F(x) legyen folytonos a zárt [a,b]-n. Ez megvan, hiszen az egyetlen gondot a folytonosságnál az okozhatja, ha g(b)-g(a)=0, azaz g(b)=g(a) lenne, de ez nem lehet, mert ekkor a Rolle-tétel szerint g'-nek volna zérushelye a nyitott (a,b)-n, amit a tétel feltételei kizárnak.

3) F(x) legyen differenciálható a nyitott (a,b)-n. Ez megvan, hiszen csupa differenciálható függvényekből raktuk össze a segédfüggvényünket.

Tehát minden lehetőség nyitott, hogy a nyert segédfüggvényre ráeresszük a Rolle-tételt, van tehát olyan ξ hely az (a,b) belsejében, hogy F'(ξ)=0 legyen.

Tehát 0=f'(ξ)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))g'(ξ), ami átrendezés után pontosan a bizonyítandó f'(ξ)/g'(ξ)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) egyenlőség. Ezzel a bizonyítás teljes.

Tehát akkor vázlatosan:

- a bizonyítást, ahogy a Lagrange-középértéktételét, most is a Rolle-tételre alapozzuk

- keresünk egy megfelelő segédfüggvényt

- miután ez megvan, megállapítjuk, hogy a Rolle-tétel feltételei csakugyan teljesülnek: F(a)=F(B), F folytonos a zárt [a,b]-n, differenciálható a nyitott (a,b)-n.

- alkalmazzuk a Rolle-tételt a segédfüggvényre, ezt rendezzük kicsit, és pontosan a bizonyítandót kapjuk.

Megjegyzés: a három klasszikus középértéktételből ez a legáltalánosabb atekintetben, hogy g(x)=x-re felírva a Caughy-tételt, pontosan visszakapjuk a Lagrange-középértéktételt, továbbá ha f(a)=f(b), akkor meg a Rolle-tétel pottyan ki speciális esetként.